Введение Довольно часто, особенно в инженерных дисциплинах, используется понятие «замедление», то есть ускорение, действие которого приводит к уменьшению модуля скорости.
В то же время такому ускорению присваивается определенный отрицательный знак, подчеркивающий именно этот замедляющий эффект. По моему скромному мнению, это понятие не только избыточно, но и вредно с методологической точки зрения.
Оно набрасывает своего рода туманную пелену на сущность величин, описывающих механическое движение.
В самом деле, чтобы описать то же самое торможение автомобиля или парашютиста, вовсе не обязательно приписывать знак ускорению; достаточно понимать, что ускорение – это векторная величина и умение грамотно переходить от операций с векторами к операциям с их проекциями на оси выбранной системы координат.
Целью статьи является развенчание необходимости использования термина «замедление» при решении практических задач механики, и если читателя не смутила очередная лекция по теоретической механике, добро пожаловать под кат.
1. Понятие производной вектора по времени
Рассмотрим вектор
, такой, что
то есть величина и направление этого вектора зависят от времени.
Давайте посчитаем изменение этого вектора, произошедшее за период времени.
Теперь, используя тот факт, что для векторов определена операция умножения на число, умножаем (1) на величину, обратную приращению времени
.
Благодаря тому факту, что
мы получаем вектор
, направленный в том же направлении, что и вектор (1) (см.
рисунок 1) Рис.
1. Геометрический смысл производной вектора по времени 
Теперь перейдем к пределу в
Соотношение (2) представляет собой предел отношения приращения векторной функции к приращению ее аргумента и называется производная вектора по времени .
Как видно из наших расчетов, производная вектора по времени тоже является вектором.
Каково направление этого вектора?
Мы будем рассуждать, глядя на геометрическую интерпретацию рисунка 1. Вектор
занимает положение секущей по отношению к траектории, описываемой концом вектора
в течение периода времени
.
Эта траектория называется годограф векторные функции
.
Секущая пересекает годограф в точках A и B. Поскольку она стремится
до нуля точка А остаётся неподвижной, а точка Б смещается в сторону точки А.
В пределе секущая примет положение касательной к годографу в точке А.
То есть мы можем ввести следующее определение
Производная вектораТаким образом, производная вектора показывает, как изменяются и величина, и направление вектора.
в зависимости от времени есть вектор
, направленная по касательной к векторному годографу
Ни о каком «знаке» производной здесь в принципе не может быть и речи.
А пойти не может — производная вектора по времени тоже вектор, а для вектора нет понятия знака.
2. Производная постоянного по абсолютной величине вектора
Предположим теперь, что наш вектор имеет постоянную длину, то есть
но меняется только ее направление в пространстве.
Будет ли этот вектор иметь ненулевую производную? Конечно будет! Умножьте вектор скалярно сам на себя
Продифференцируем (3) по времени
Производная векторного модуля
равен нулю, поскольку модуль не меняется со временем.
Затем, используя правило дифференциации продукции, разложим левую часть (4)
Используя коммутативное свойство скалярного произведения, получаем
или
То есть скалярное произведение вектора и его собственной производной равно нулю, а значит
Таким образом, производная вектора постоянной длины не только не равна нулю, но и является вектором, перпендикулярным исходному.
Годографом такого вектора будет окружность радиусом, равным длине вектора (рисунок 2).
С такой ситуацией мы сталкиваемся, когда вычисляем ускорение точки, равномерно движущейся по окружности.
Он имеет центростремительное ускорение, перпендикулярное вектору скорости.
Производная вектора будет равна нулю только в том случае, если вектор не меняет ни своей величины, ни направления.
Рис.
2. Вектор постоянной длины, его годограф и производная 
3. Скорость и ускорение
Теперь, исходя из вышеизложенного, дадим определение скорости материальной точки.
Пусть положение точки в пространстве характеризуется вектором
, называется радиус-вектор точек (см.
рисунок 3).
Затем
Вектор скорости точкиВсе верно — траектория — это годограф радиус-вектора, и выбор начала координат О, из которого мы выпускаем радиус-вектор, роли не играет. Рис.
называется первой производной радиуса-вектора точки по времени
Вектор скорости точки направлен по касательной к ее траектории.
3. Векторы скорости и ускорения материальной точки.
Понятие ускорения вводится аналогичным образом.
Вектор ускорения точкиГеометрическая иллюстрация этих определений представлена на рисунке 3. При движении точки по окружности с постоянной абсолютной скоростью ускорение направлено точно в центр этой окружности (рисунок 4).
— первая производная вектора скорости точки по времени
Вектор ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости.
в полном соответствии с определением производной постоянного вектора по абсолютной величине.
В данном случае вектор ускорения всего лишь показывает, как меняется направление вектора скорости.
Вывод или откуда знак? Решая задачу механики, мы неизбежно переходим от векторных уравнений к уравнениям в проекциях на оси выбранной системы координат. Причем, если вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости, то знак его проекции отличается от знака проекции вектора скорости.
Причем последняя может быть отрицательной, а проекция ускорения – положительной, все зависит от выбранной системы координат! .
Именно в этой ситуации в инженерной практике используется термин «замедление».
Однако знак проекции и ее название не имеют ничего общего с механикой; они относятся к формальной процедуре вычислений при решении задачи и не несут никакого механического смысла.
Так что понятие «замедление» — результат вольной интерпретации промежуточных результатов расчетов.
Спасибо за внимание! Теги: #ускорение #замедление #механика #векторная производная #математика
-
Шелковый Кошелек
19 Oct, 24 -
«Зонтичный» Мониторинг: Перископ Для Бизнеса
19 Oct, 24 -
Вызовы Будущего
19 Oct, 24 -
Мобильная Афера, Новая Схема.
19 Oct, 24 -
Linkedin Запускает Каталог Поставщиков Услуг
19 Oct, 24 -
Вам Следует Подумать О Часах Тренировок
19 Oct, 24
