Не Сломайся, Не Потеряй - Теория Мяча

— Изя, посчитай объём мяча — Шара огромна Первоначальное математическое знакомство с кругом начинается с теоремы Пифагора - что круг находится на одинаковом расстоянии от центра во всех направлениях, а расстояние разлагается на отдельные координаты, которые при суммировании своих квадратов дают квадрат расстояния.
Есть и другая форма применения теоремы о шаре: если шар имеет диаметр, то точка на поверхности образует с ним прямоугольный треугольник, квадраты катетов которого равны квадрату этого диаметра, как и гипотенуза.
.
В этой статье я решил последовательно описать свое понимание такого загадочного явления, как округлость.
Что означает мяч? Проблема.
Возьмем квадрат, угловые точки которого перемещаются с некоторыми ограничениями:
Площадь четырехугольника не меняется.

Все стороны четырехугольника не различаются по длине.

Первый угол не двигается.

Второй угол не перемещается перпендикулярно направлению третьего угла.
(Точно так же, как заднее колесо велосипеда не движется вбок).

Вопрос: куда движется четвертый угол, если для второго угла из остальных движений по нему только от третьего или к третьему? от третий.
Это тест на базовый математический интеллект. Простые ответы «в третий», «с третьего», «либо с третьего, либо с третьего» недостаточно точны.
Отвечать Четвертый угол движется навстречу третьему, но в любой момент, в том числе и в начальный, он может начать движение от третьего, после чего переключение назад уже невозможно.
Первоначальное движение – это вращение квадрата по кругу.
После переключения это растяжение ромба с сохранением площади, с перемещением второго и четвертого углов по соответствующим гиперболам.

Вращение
Производная функции — это функция, отражающая скорость изменения функции в заданном направлении, вычисляемая как предел разности между функцией и самой собой при уменьшении сдвига аргумента одной из выделенных функций до нуля.
, но без перехода к нулю, потому что тогда разницы не будет. Разницу нужно разделить на значение сдвига — и вы получите скорость изменения функции относительно скорости изменения аргумента.
Производная суммы нескольких функций и сумма производных этих функций одинаковы, поэтому не имеет значения, вычисляете ли вы производную до или после суммирования.
Комплексные числа — это расширение действительных чисел, в котором может быть сразу два представления: одно в виде комбинации двух действительных чисел с дополнительными правилами парного умножения.
А в другом комплексное число представлено как сочетание действительного числа фиксированного знака, как модуля, с расширением понятия знака, аргумента/фазы.
В этой системе разложения вполне естественно, что корень четвертой степени из единицы дает четыре разных результата, два из которых в квадрате дают минус единицу.
Одна из них — мнимая единица с обозначением

.
Любое число теперь можно рассматривать как точку на плоскости.
При умножении чисел умножаются их модули и складываются их фазы.
При умножении на мнимую единицу происходит только изменение фазы.
Четыре таких шага и мы снова в отряде.
Производная простой функции,

, можно рассчитать на основе определения производной:

Показатель степени можно определить как функцию, производная которой по аргументу совпадает с самой функцией.
Для определенности и нетривиальности функция в нулевой точке равна единице.
Вы можете вывести функцию, заметив, что производная степенной функции уменьшает степень, последовательно приводя к константе, а затем к нулю.
Если мы вернемся назад, начиная с 1, а затем добавив члены, которые дают предыдущий член в качестве производной, мы получим функцию, равную своей производной.
Просто потому, что производная такой суммы приводит к одинаковым слагаемым суммирования.

Если аргумент показателя степени умножить на коэффициент, не зависящий от аргумента, то при вычислении производной коэффициент останется от предыдущего члена, на одну степень больше.
Это значит, что вычислением производной этой функции будет умножение на этот коэффициент.

О комплексных числах и показателях степени стоило упомянуть потому, что от них зависит понятие вращения: вращение — это движение, при котором величина скорости как вектор на плоскости перпендикулярна вектору положения относительно центра вращения.
Простейшее вращение мы получим, если умножим аргумент показателя степени на мнимую единицу, тогда скорость изменения функции как производной функции в виде вектора на плоскости будет умножена на мнимую единицу, а следовательно, перпендикулярен значению самой функции.
И соответствующая точка на плоскости будет вращаться по мере увеличения аргумента.
Даже если скорость будет не пропорциональна положению относительно центра, а точно перпендикулярна ему, то, вероятно, это будет не равномерное, но все же вращение на том же расстоянии, что и было изначально.
Для этого ускорение должно будет работать на поддержание перпендикулярности скорости относительно положения.
Но если продолжать говорить о равномерном движении, то сумму экспоненты с мнимым коэффициентом перед аргументом можно разложить на отдельно действительную и отдельно мнимую составляющие.

Результатом являются отдельные функции для координат. Они представляют собой значения координат «вращающейся» функции при равномерном изменении аргумента.
Это означает, что степень движения, длина кривой, по которой движется функция, определяется самим аргументом.
Причём, поскольку вращение – это тоже циклический процесс, значения этих функций повторяются, с определённым периодом.
Какова площадь единичного круга? Думаю, точно меньше четырёх, потому что круг укладывается в квадрат площадью 4. Но если представить, что мы делим круг на части, то мы сможем примерно вычислить площадь каждой.
Мочку можно моделировать дельтовидной мышцей, четырехугольником с попарно одинаковыми смежными сторонами, одна диагональ которого, как и длинная сторона, одинарна, другая соединяет концы дуги доли.
При детализации площадь четырехугольника стремится к половине длины дуги.
Оказывается, площадь круга стремится к половине длины всей окружности.
При достижении восьмой части круга четные и нечетные члены экспоненциального разложения дают одинаковые суммы.

После этого равенство сохраняется только в том случае, если вы двигаетесь в противоположных направлениях.

Корень этого уравнения

равна площади единичного круга, решенной разными способами, обозначается символом

.

будет более подробно

Видно, что числитель дроби то уменьшается вдвое, то увеличивается в два раза, прибавляя единицу перед этим увеличением.
Этим непостоянством и пропуском первого множителя, равного нулю, отличается от разложения экспоненты с постоянным коэффициентом.

Экспонента мнимого аргумента — это комплексное число, умножение которого на любое другое число означает поворот на значение аргумента.
То есть добавление нескольких вращений перед вычислением показателя степени соответствует умножению показателей степени для отдельных чисел.
Это свойство распространяется на произвольный аргумент, поэтому показатель степени может быть представлен степенной функцией — определенным числом, которое вводится в степень аргумента.
Произведение нескольких таких степеней множителя останется одной степенью с суммой их аргументов в показателе степени.
Основание степени, естественно, совпадает с показателем единицы и равно

Если разделить функцию показателя действительного аргумента на участки, то так же, как участки показателя степени мнимого аргумента имеют одинаковое вращение, каждый участок будет умножать значение функции по аргументу в одинаковой степени, равной к увеличению первого фрагмента, который из-за равенства показателя степени единице, а значит, и производной в нуле, практически линейно возрастает по площади.
И вообще, выражение единица плюс обратное числу фрагментов при возведении в степень числа фрагментов приближается к числу e.

Это второй замечательный предел.
И первый замечательный предел показывает, что функция

в нулевой области оно близко к

, что в пределе равно единице.
Функция

Он интересен еще и тем, что помимо суммы разлагается на произведение.

И подставив

может быть выражено

Как

Для

Еще есть выражение:

И сходство между этим вариантом и более энергичным определенно есть:

В связи с тем, что изменение мнимой составляющей аргумента представляет собой вращение результата показателя степени по кругу, показатель степени повторяет свои значения для разных аргументов.

Следовательно, обратная экспонента многозначна, и сложение или вычитание

мнимая часть решения также является решением.

Поэтому логарифм часто используется как обратная экспоненциальной функции, областью определения которой являются положительные числа, а диапазоном значений являются только действительные числа.
Поскольку функции, обратные друг другу, имеют значения своих производных по обратным координатам, то производная логарифма равна

Подобно тому, как производная степенной функции по уменьшению степени сначала приводит к константе, а затем к нулю, интеграл от степенной функции отрицательной степени приводит сначала к логарифму, а затем к последовательности, описываемой формулой

Для общности формулы, если

, так что тогда

.
Выделив часть, связанную с логарифмом, получим:

Для логарифма коэффициент

действует так, что сужает действительную часть функции, но при этом увеличивает ее на величину

.
Такой подъем не влияет на производную функции.
Как действительный коэффициент аргумента логарифма не влияет на мнимую часть его значения.
Действительное число имеет только два вида инверсии: смену знака и инверсию степени.
Для комплексного числа смена знака добавляется только для действительной части, смена знака только для мнимой части и смена степени только для модуля числа, без изменения фазы.
Это всё одна трансформация, разница в сочетании с первыми двумя трансформациями.
Также добавлено вращение на i как тип вызова, для возврата из которого нужно выполнить его не два, а четыре раза.
Но остальные две степени представляют собой комбинации с другими инверсиями, поэтому добавилось лишь разложение двойной инверсии одного типа в одинарную инверсию другого.
В результате существует четыре типа бинарной циркуляции, и каждое число входит в группу из 16 отражений.
Если число находится на оси координат, или на диагонали, или модуль числа равен единице, то различающихся отражений будет меньше.
В результате имеется пять осей симметрии.
Комплексное число имеет действительную и мнимую составляющие, а квадрат модуля числа вычисляется как сумма их квадратов.
Если мы обозначим

тогда имейте

можно выделить модуль и фазу:

Кроме того

может быть отрицательным – в этом случае фаза

будет сдвинут на

- при выполнении этих равенств самостоятельно

И

могут быть комплексными числами.
И, например, для чисто воображаемого

величина

может перейти в отрицательные значения, что означает

станет воображаемым.
Логарифм мнимого числа — это логарифм соответствующего действительного числа плюс

к мнимой составляющей.
Может быть обозначен модулем

число, у которого логарифм не дает мнимой части, всю фазу

идет в

.
Вывод: в этих условиях

может иметь свою фазу

.
И здесь имеется связь между тремя фазами:

.
И тогда, как ни удивительно, может случиться так, что

, то фаза

имеет мнимую составляющую, и фазы уже не связаны суммой.
Еще немного о связях.
Сложение и вычитание двух чисел дает две характеристики: удвоенное среднее значение и удвоенную половинную разницу.
Используя эти характеристики, можно получить числа обратно, сложив или вычитав их, разделив на два, как на первом этапе, так и на втором.
Или путем деления на корень из двух на обоих этапах.
Операция выравнивания

, проявляет признаки как сложения, так и вычитания одновременно, так как по одним компонентам вычисляется сумма, а по другим – разность.
Но обратная операция предполагает изменение знака одного из слагаемых:

, оставляет именно те значения, которые теряются при исходной операции.
Там, где рассчитывалось среднее значение, вычисляется полуразница, а там, где рассчитывалась полуразница, рассчитывается среднее значение.
Получить из результата его компоненты

Достаточно.
Но есть альтернатива.
Фиксация суммы квадратов

дает достаточно данных о самих количествах, чтобы вместе с данными об их сумме

удалось получить их значения, вплоть до порядка величины в паре.
Помимо понятий «обратимое среднее» и «обратимая разность» для двух величин можно ввести характеристику их подобия в действительной части, разность в мнимой части, выражающуюся в разности квадрата суммы и сумма квадратов, а значит, и двойное произведение этих двух величин.

Но характеристики

сумма и сумма квадратов не являются парой.
Если вы замените

на

, то вы можете переписать

То есть, если сочетание трактуется как сумма или разность, то в обоих случаях сумму квадратов надо трактовать как разность квадратов, а это характеристика, показывающая сходство суммы и разность значений.
А это значит, что выкройки будут проще:

Квадрат модуля числа и квадратичная разностная характеристика совпадают – только если компоненты

уже разделены на реальные и мнимые.
В противном случае

И

одновременно содержат отклонения от пары модуль-фаза и компенсируют отклонения, выполняя свою роль.

***
Вторая промежуточная задача.
Решим задачу о том, как получить вектор максимальной длины путем сложения двух других векторов, используя коэффициенты, содержащие вращение, то есть сумма квадратов которых постоянна.

- разница в квадратах амплитуд

— квадратичное фазовое подобие Чтобы найти максимум, дополнительно приравниваем производную к нулю.

Решение Вывод соотношения, используемого ниже.