Содержание
- Что такое тензор и для чего он нужен?
- Векторные и тензорные операции.
Ранги тензоров
- Криволинейные координаты
- Динамика точки в тензорном представлении
- Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
- Кинематика свободного твердого тела.
Природа угловой скорости
- Окончательное вращение твердого тела.
Свойства тензора вращения и как его рассчитать
- О свертках тензора Леви-Чивита
- Вывод тензора угловой скорости через конечные параметры вращения.
Используем голову и Максиму
- Получаем вектор угловой скорости.
Работаем над недостатками
- Ускорение точки тела при свободном движении.
Угловое ускорение твердого тела
- Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
- СКА Максима в задачах преобразования тензорных выражений.
Угловая скорость и ускорение в параметрах Родрига-Гамильтона
- Нестандартное введение в динамику твердого тела
- Движение несвободного твердого тела
- Свойства тензора инерции твердого тела
- Скетч про орех Джанибекова
- Математическое моделирование эффекта Джанибекова
является произведением контравариантного тензора Леви-Чивита и ковариантного.
И, надо сказать, упростил я это не слишком изящно, а довольно коряво.
Кроме того, окончательное выражение формулы Родрига как в компонентном, так и в бескомпонентном виде оказалось крайне неудобным с точки зрения дальнейшего преобразования.
Но я обещал читателю показать, как получить угловую скорость твердого тела из выражения матрицы вращения через параметры конечного вращения, поэтому представленные ниже вопросы будут иметь решающее значение при применении тензорного подхода.
к кинематике и динамике твердого тела.
В то же время еще раз порекомендую довольно старый сайт. «Что такое математика» , хоть и создан на движке naroda.ru, но содержит информацию, которая уже несколько раз подталкивала меня в правильном направлении при решении задач по изучению тензорной алгебры.
Итак, поговорим о свертках тензора Леви-Чивита.
1. Символы Веблена
Читатель, наверное, уже заметил, что все компоненты тензора Леви-Чивита имеют общий множитель:
в ковариантном представлении и
в контрварианте.
Логично представить этот тензор в несколько более упрощенном виде.
или
Где
– выражение, определяющее смысл так называемого Символы Веблена , в котором
— функция, определяющая, является ли перестановка индексов четной или нечетной.
Таким образом, процедура умножения тензоров Леви-Чивита сводится к оперированию символами Веблена.
Где
называется обобщенной дельтой Кронекера.
Обобщенная дельта Кронекера представляет собой трижды контравариантный и трижды ковариантный тензор шестого ранга.
Для трехмерного пространства данная конструкция имеет 3 6 = 729 компонентов.
Немного слишком, что бы вы ни говорили.
Кроме того, представить массив компонент тензора шестого (!) ранга с помощью нашего трехмерного мышления совершенно проблематично.
Но обычно этого не требуется — (4) участвует в преобразованиях, где сворачивается с другими тензорами.
Поэтому полезно изучить свертки тензора (4), что даст нам возможность свертывать и преобразовывать выражения, включающие тензор Леви-Чивита.
2. Символ Веблена как определитель
Можно ли более формально подойти к определению значения выражения (3) для любого значения индексов? Можно, если обратите на это внимание
Это не что иное, как значение символа Веблена для набора индексов (1,2,3).
Теперь переставим пару столбцов в (5)
Хм.
Ну давайте поменяем еще пару столбцов местами
Ну и конечно, значение символа Веблена равно определителю матрицы, составленной из единичной матрицы, столбцы которой взяты в порядке, диктуемом порядком индексов символа! Для получения общего выражения представим единичную матрицу, как это принято в тензорном исчислении, через дельту Кронекера
Напомню, что дельта Кронекера равна единице, если индексы совпадают, и нулю, если индексы различны.
Теперь создадим определитель для некоторого символа Веблена.
все правильно, а значит в общем виде написать не составит труда
Выражение (7) является общим выражением для произвольного символа Веблена, которое позволит нам вывести
3. Аналитическое выражение для компонент обобщенной дельты Кронекера.
Возьмем «да» и умножим один символ Веблена на другой.
Для вычисления (8) нам придется помнить, что определитель матричного произведения – это произведение определителей каждой матрицы (независимо от порядка множителей), и поэтому мы будем вычислять произведение матриц, составленных из элементов определители, входящие в (8)
Здесь пришлось воспользоваться, во-первых, симметричностью дельты Кронекера.
, а, во-вторых, тем, что при выполнении матричного произведения в результирующих суммах по каждому элементу результата ненулевыми будут только слагаемые, в которых повторяются верхний и нижний молчащие индексы, опять-таки из-за свойств дельта Кронекера.
Преобразуем (9), учитывая еще одно свойство дельты Кронекера
и получим окончательное выражение для компонент обобщенной дельты Кронекера
Все 729 компонентов описываются одной компактной формулой (10).
Это очень хорошо и чрезвычайно полезно для практических целей.
Например, теперь очень легко записать произведение контравариантных и ковариантных тензоров Леви-Чивита
4. Свертка произведения тензоров Леви-Чивита по различному числу пар индексов.
Используя (10), мы можем легко и естественно вычислить согласование (11).
Схлопнем (11), используя одну пару индексов
Разложим (12) по последней строке
В (13) в первых двух слагаемых мы умножили второй столбец на множитель перед определителем в соответствии с правилами их расчета.
Давайте трансформироваться дальше
Здесь мы вынесли (-1) за скобки в первом члене, переставив столбцы, а также воспользовались тем, что
— свертка дельты Кронекера, то есть ее след.
То есть мы получаем финал
Теперь давайте свернем произведение тензоров Леви-Чивита по двум парам индексов.
Для этого давайте свернем (14)
Ну и, наконец, проведем свертку по трем парам индексов
Выражения (14) – (16) ясно показывают, что «крокодил» из
Теги: #тензор Леви-Чивита #символы Веблена #свертка тензора Леви-Чивита #математика
-
Так Много Удобства У Вас Под Рукой Онлайн
19 Oct, 24 -
Мадагаскар – Остров Контрастов
19 Oct, 24 -
Конференция В Софии
19 Oct, 24
