Казалось бы, случайность усложняет доказательство теорем.
Но на самом деле зачастую его эффект оказывается противоположным.
Из всех инструментов, доступных математикам, случайность, похоже, имеет наименьшее преимущество.
Математика оперирует логикой и строгими понятиями.
Его общие цели — поиск порядка и структуры в огромном море объектов.
Вся математическая история кажется возможной именно потому, что мир математики не случаен.
И все же недавняя статья " Случайные поверхности скрывают сложный порядок «касалось нового доказательства, в котором случайность — это все.
Результат включает в себя появление закономерностей, подобных шахматным клеткам, появляющихся в геометрических пространствах, построенных случайным образом.
Авторы доказательства обнаружили, что случайность в геометрическом пространстве упрощает описание этих закономерностей.
«Совершенно неожиданно «Добавление случайности позволяет сделать больше», чем без нее, — сказал он.
Николас Куриен , математик из Университета Париж-Юг XI, соавтор этой работы.
И оказывается, что случайность во многом помогает в математике.
Например, математики часто хотят доказать, что существует объект с определенными свойствами, например, геометрическая фигура с определенной симметрией.
Самый прямой способ решить проблему существования — найти пример объекта, обладающего нужными вам свойствами.
Однако попробуйте это сделать.
«Может быть очень сложно представить один конкретный объект с желаемым свойством», — сказал Мартин Хайрер , лауреат Филдсовской премии, чья работа связана со случайными процессами.
Если лобовая атака на проблему вряд ли увенчается успехом, можно попытаться подойти к ней с фланга.
Например, можно показать, что если мы рассмотрим все объекты определенного типа, а затем наугад выберем один из них, то существует ненулевая вероятность выбора объекта с нужными свойствами.
Этот «вероятностный метод» впервые применил математик Пал Эрдеш .
Случайность также можно использовать для поиска решений неслучайных задач.
Это было сделано в недавнем доказательстве шахматных узоров на решетке.
Исследователей заинтересовал процесс под названием перколяция, где нужно понять, при каких условиях можно пройти по точкам только одного цвета от одной части решетки к другой.
Рисуя такой узор по детерминированным правилам – по четко определенным линиям регулярной сетки – каждый следующий шаг пути будет зависеть от каждого из предыдущих шагов.
В случае сложной решетки это требование становится обременительным.
Это похоже на то, как легко разместить самые первые фигуры в игре Тетрис — их можно разместить где угодно, — но более поздние разместить труднее, поскольку они должны удовлетворять положению всех предыдущих.
А когда ваш путь окажется случайным, вам больше не придется беспокоиться о предыдущих шагах.
Каждый новый шаг в каком-то смысле становится первым: подбросьте монетку, чтобы решить, куда идти дальше.
Математики пытаются использовать этот факт. Существует гипотетические отношения , известное как уравнение Кардара-Паризи-Чжана (KZG), позволяет математикам преобразовывать результат, полученный на случайной решетке, в результат на детерминированной решетке, и наоборот. «Теоретически это означает, что вы можете выполнить оба расчета», либо случайный, либо детерминированный, сказал Оливье Бернарди , математик из Университета Брандейса и соавтор недавней статьи.
Эта работа согласуется с предыдущими результатами (которые гораздо сложнее доказать) о перколяции стандартной решетки, что подтверждает справедливость уравнения КПЗ.
Если бы математика была проще, математикам, возможно, не пришлось бы прибегать к случайности.
Однако наиболее важные математические вопросы слишком сложны для того, чтобы математики могли найти ответы.
«Это может показаться очевидным, но полезно помнить, что в большинстве случаев, ставя задачу по математике или теоретической физике, решить ее невозможно», — сказал Пол Бургад , математик из Нью-Йоркского университета.
«У нас просто нет инструментов для решения этой проблемы».
В некоторых из этих ситуаций случай упрощает ситуацию ровно настолько, чтобы сделать решение возможным.
Теги: #Популярная наука #математика #доказательства #случайность
-
Это Начало Новой Эры?
19 Oct, 24 -
Хуфт, Жерард
19 Oct, 24 -
Служба Юридической Помощи «Попал В Дтп»
19 Oct, 24 -
Реклама Товаров Google: Разбор
19 Oct, 24 -
Каковы Следующие Шаги?
19 Oct, 24 -
Будьте Добры К Программистам
19 Oct, 24 -
Чувствительный Пол
19 Oct, 24
