Книга "Mathematical Analysis: A Concise Introduction" представляет собой самодостаточное введение в основы математического анализа. В книге рассматриваются базовые понятия анализа и показана его роль в математике. Авторы сосредотачиваются на самом важном, закрепляют знания с помощью упражнений и используют уникальный "обучение через действие" подход, который позволяет читателю овладеть навыками доказательства и глубоко понять анализ, что необходимо для дальнейшего изучения чистой и прикладной математики.
Книга состоит из трех частей:
В первой части рассматривается анализ функций одной переменной, включая последовательности, непрерывность, дифференцирование, интеграл Римана, ряды и интеграл Лебега. Подробно объясняется техника математических доказательств, уделяется внимание стандартным методам доказательства. Для эффективного перехода к более абстрактным понятиям результаты для функций одной переменной выводятся методами, которые переносятся на метрические пространства.
Во второй части рассматриваются более абстрактные аналоги понятий, введенных ранее. Читатель знакомится с фундаментальными пространствами анализа, включая пространства Lp. Показано, как соответствующие определения интегрирования, непрерывности и дифференцирования приводят к мощному и широко применимому фундаменту для дальнейшего изучения прикладной математики. Затем исследуется взаимосвязь между теорией меры, топологией и дифференцированием в доказательстве многомерной формулы замены. Другие освещаемые темы в этой части: многообразия, теорема Стокса, гильбертовы пространства, сходимость рядов Фурье и теорема представления Рисса.
В третьей части дается обзор мотивации для анализа и его приложений в различных областях. Особое внимание уделяется обыкновенным и частным дифференциальным уравнениям, рассматриваются некоторые теоретические и практические проблемы в этих областях. В частности, освещаются уравнения Навье-Стокса и метод конечных элементов.
Книга содержит подробный указатель и более 900 упражнений разного уровня сложности, от концептуальных вопросов и адаптации доказательств до доказательств с подсказками и без них. Такие возможности для закрепления материала, в сочетании с четкой и лаконичной подачей анализа, делают эту книгу незаменимой для студентов старших курсов бакалавриата или начинающих магистрантов математических специальностей, которые хотят заложить прочный фундамент в анализе для дальнейшей работы в любых областях математики, основанных на анализе.
Электронная Книга «Mathematical Analysis» написана автором Bernd S. W. Schröder в году.
Минимальный возраст читателя: 0
Язык: Английский
ISBN: 9780470226766
Описание книги от Bernd S. W. Schröder
A self-contained introduction to the fundamentals of mathematical analysis Mathematical Analysis: A Concise Introduction presents the foundations of analysis and illustrates its role in mathematics. By focusing on the essentials, reinforcing learning through exercises, and featuring a unique «learn by doing» approach, the book develops the reader's proof writing skills and establishes fundamental comprehension of analysis that is essential for further exploration of pure and applied mathematics. This book is directly applicable to areas such as differential equations, probability theory, numerical analysis, differential geometry, and functional analysis. Mathematical Analysis is composed of three parts: ?Part One presents the analysis of functions of one variable, including sequences, continuity, differentiation, Riemann integration, series, and the Lebesgue integral. A detailed explanation of proof writing is provided with specific attention devoted to standard proof techniques. To facilitate an efficient transition to more abstract settings, the results for single variable functions are proved using methods that translate to metric spaces. ?Part Two explores the more abstract counterparts of the concepts outlined earlier in the text. The reader is introduced to the fundamental spaces of analysis, including Lp spaces, and the book successfully details how appropriate definitions of integration, continuity, and differentiation lead to a powerful and widely applicable foundation for further study of applied mathematics. The interrelation between measure theory, topology, and differentiation is then examined in the proof of the Multidimensional Substitution Formula. Further areas of coverage in this section include manifolds, Stokes' Theorem, Hilbert spaces, the convergence of Fourier series, and Riesz' Representation Theorem. ?Part Three provides an overview of the motivations for analysis as well as its applications in various subjects. A special focus on ordinary and partial differential equations presents some theoretical and practical challenges that exist in these areas. Topical coverage includes Navier-Stokes equations and the finite element method. Mathematical Analysis: A Concise Introduction includes an extensive index and over 900 exercises ranging in level of difficulty, from conceptual questions and adaptations of proofs to proofs with and without hints. These opportunities for reinforcement, along with the overall concise and well-organized treatment of analysis, make this book essential for readers in upper-undergraduate or beginning graduate mathematics courses who would like to build a solid foundation in analysis for further work in all analysis-based branches of mathematics.