Этот пост представляет собой отрывок из моей курсовой работы по изучению броуновского движения.
Хотя задача была сформулирована как простое написание программы для одномерного и двумерного случаев броуновского движения, мне показалось интересным рассмотреть простейшую дискретную аппроксимацию броуновского движения - одномерное случайное блуждание - посредством фрактальной геометрии и определить его фрактальное измерение.
Историческая справка
Сама концепция броуновского движения возникла в 1827 году, когда шотландский ботаник Роберт Браун изучал движение пыльцевых зерен в жидкости.Исследуя пыльцу под микроскопом, он обнаружил, что плавающие пыльцевые зерна в соке растений движутся совершенно хаотично, зигзагообразно.
Он считал, что эти частицы живые.
Истинную причину броуновского движения объяснили Альберт Эйнштейн (в 1905 году) и Мариан Смолуховский (в 1906 году).
Ученые использовали существенно разные методические подходы, которые, однако, часто приводили к полностью или частично совпадающим результатам, а иногда и дополняли друг друга.
В своей работе Эйнштейн получил формулу зависимости смещения броуновской частицы от времени: 
где – постоянная Больцмана, – температура, – время, – подвижность частиц.
После получения формулы Эйнштейна перед научным сообществом XX века встал вопрос о строгой математической теории броуновского движения.
Итак, в 1923 году Норберт Винер построил первую математически удовлетворительную модель реализации выборки и доказал ее.
почти наверняка преемственность.
Почти вероятно здесь — математический термин, означающий, что если какое-либо свойство выполняется для каждой точки данного множества, исключая, быть может, множество меры нуль, то мы говорим, что это свойство выполняется на этом множестве почти наверняка или почти всюду.
Простейшая реализация броуновского движения.
Простейшим дискретным приближением броуновского движения является одномерное случайное блуждание.
Помещаем частицу в точку 
.
Далее частица делает шаг влево или вправо в зависимости от случайного выбора.
Случайное блуждание происходит итеративно.
На каждый шаг 
давай положим 
В дальнейшем такую реализацию броуновского движения будем называть простейший .
Броуновское движение и гауссово распределение
Броуновское движение по своей природе является гауссовским.Но всегда ли возможно такое обобщение? Для начала определим одномерное броуновское движение как гауссовский процесс.
Так, Гауссов процесс 
называется одномерный броуновский движение , или Винеровский процесс на интервале 
, если он имеет следующие свойства:
-
и функция
почти всегда непрерывно. - Гауссово свойство приращений: случайная величина
имеет распределение Гаусса с математическим ожиданием 0 и дисперсией
, Где
- положительная константа.
То есть 
В дальнейшем мы будем называть это броуновское движение классический .
Как мы видим, ответ на наш вопрос уже содержится в определении.
Да, действительно, такое обобщение не находит примера-контраргумента по определению.
Тогда давайте перефразируем и проясним наш вопрос: является ли какая-либо модель броуновского движения гауссовой?
Фрактальное броуновское движение
Чтобы ответить на вопрос из предыдущего раздела, мы определим более широкий класс гауссовских процессов, таких как фрактальное броуновское движение.
Так Гауссов процесс 
называется одномерное фрактальное броуновское движение , или Винеровский процесс на интервале 
, если он имеет следующие свойства:
-
и функция
почти всегда непрерывно. - Гауссово свойство приращений: случайная величина
-
Огромная Очередь На Открытие Microsoft Store
19 Oct, 24 -
Скромный Набор Замороженных Синапсов
19 Oct, 24 -
Отредактируйте Или Перепишите
19 Oct, 24
