Введение Прикладная математика – это набор инструментов, позволяющих решать определенные задачи, возникающие на практике.
В этой статье мы рассмотрим один из таких инструментов – преобразование отклонений применительно к Евклидовы матрицы расстояний .
Спектр полученной матрицы Грина позволяет судить о размерности исходных данных и вычислять координаты исходных точек относительно их собственного координатного центра.
Допустим, у нас есть (н > 2) известны точки и все расстояния между ними.
Потенциальная размерность пространства равна ( n-1 ).
Необходимо определить, какому измерению пространства принадлежат данные точки, а также координаты точек в этом пространстве.
1. Преобразование отклонений
Пусть задана некоторая симметричная матрица М размеры Н с нулевым следом (элементы главной диагонали равны нулю).Нам нужно определить преобразование к некоторой новой матрице ты .
В этом случае значения исходной матрицы необходимо вычислить из новой по правилам сложения расстояний: 
Тогда значения матрицы М можно выразить через спектр ты как взвешенная сумма разностей квадратов компонент собственных векторов: 
Здесь 
— набор собственных значений матрицы ты , А 
— матрица собственных векторов, соответствующих собственным значениям.
Длина векторов нормирована на 1.
Общий вид матрицы ты , удовлетворяющее условию (1.1), представляет собой выражение: 
Здесь 
— произвольный вектор, и 
— произвольная константа.
Для определения этих значений необходимо задать дополнительные условия.
Это условие является требованием Лапласово подобие матрицы ты .
В Матрица Лапласа элементы главной диагонали равны сумме элементов соответствующего столбца (строки) с противоположным знаком: 
Подставив (1.3) в (1.4) с учетом симметрии М , мы получаем тождество: 
из чего определяем искомые выражения для вектора и константы: 
Таким образом, вектор в (1.3) — это вектор средних значений строки (столбца) исходной матрицы (в терминах графов — средняя мощность/степень вершины графа), а константа — среднее значение матрицы в целом (средняя степень вершин всего графа): 
Преобразование (1.3') мы называем трансформация отклонения , поскольку отражает отклонение (отклонение) значений исходной матрицы от средних значений.
Назовем результат преобразования матрица отклонений .
2. Свойства матрицы отклонений
Матрица сингулярна (нулевой определитель и одно из собственных значений) — следствие требования Лапласа.
Ээлементы главной диагонали отклонения отражают средние значения исходной матрицы: 
След отклонения связан со средним значением исходной матрицы и может быть выражен через сумму собственных значений: 
Произведение собственных значений пропорционально потенциал отклонение - ненулевое незначительный матрицы: 
Отклонение обратимо.
По матрице отклонений можно восстановить исходную: 
3. Матрица Грина, собственная система координат.
Давайте рассмотрим применение преобразования отклонений к евклидовой матрице расстояний.Пусть задан набор точек с известными расстояниями между любой парой.
Определим размерность пространства, которому принадлежат точки, и их координаты в этом пространстве.
Представим исходный набор расстояний в виде симметричной матрицы квадраты расстояний между точками.
Обозначим эту матрицу как Д2 , где два означает квадрат. Применение операции отклонения к матрице квадратов расстояний дает матрицу Грина г : 
Спектр матрицы Грина обладает следующими свойствами:
- Число ненулевых собственных значений (ранг матрицы) совпадает с размерностью пространства, в котором расположены исходные точки.
- Значения собственных векторов — это координаты точек в новом пространстве.
- Симметрия собственных значений отражает симметрию взаимного расположения точек.
Вес каждой координаты определяется значением спектра (собственным значением).
Центр новой системы координат называется центр тяжести .
На главной диагонали матрицы Грина расположены квадраты расстояний от центроида до вершин: 
Сумма всех таких расстояний (след) определяет средний радиус множества.
Р2 .
Этот радиус равен сумме значений спектра и связан со средним значением исходной матрицы расстояний в соответствии с формулой (2.2): 
Центр тяжести набора минимизирует средний радиус набора.
То есть для любого другого положения центроида средний радиус набора будет иметь большее значение.
Добавление самого центроида к исходному набору точек не меняет спектр, поскольку центроид нового набора такой же, как и старый.
4. Спектры некоторых множеств
Спектры трех вершин (треугольников)
В наших руках появился молоток.Ищем гвозди.
Для одной/двух точек нет конкретного пункта в построении матрицы Грина.
Две неидентичные точки всегда принадлежат одной прямой, то есть одномерному пространству.
А вот по трем пунктам уже появляются варианты.
Самый простой случай — вершины равностороннего треугольника.
Если длина стороны равна 1, то матрица Грина 
будет выглядеть так: 
След этой матрицы равен 1, а потенциал равен (1/3)^2 - (1/6)^2 = 1/9 - 1/36 = 1/12.
Вычисляем спектр (в скобках указаны квадраты расстояний между точками): 
Здесь собственные значения спектра показаны слева, а соответствующие значения вектора (координаты) — справа.
Мы видим, что:
- Спектр имеет два значения.
Это и понятно – невырожденный треугольник всегда принадлежит 2-мерному пространству (плоскости).
- Оба собственных значения равны.
Это следствие симметрии равностороннего треугольника.
Попутно заметим, что спектр трёх вершин связан с площадью треугольника, который они образуют (вариант формулы Герона): 
Соответственно, квадрат площади равностороннего 1-треугольника равен 3/4*1/4=3/16.
Давайте двигаться дальше.
Если точки принадлежат одной линии, то спектр должен содержать только одно значение.
Рассчитаем значение спектра для трех точек отрезка (двух по краям и одной посередине) 
.
Мы получаем: 
Действительно, спектр содержит только одну компоненту.
Как и ожидалось, центроид находится в середине сегмента.
Зададим каверзный вопрос: какому пространству принадлежит невозможный треугольник, то есть тот, в котором неравенство треугольника ? Ответ очевиден для тех, кто его знает.
Для «треугольника» формы 
спектр будет состоять из двух значений – одного положительного (4,5) и другого отрицательного (-0,833).
Если в спектре присутствуют отрицательные значения, это означает, что в евклидовом пространстве набор точек с такими характеристиками не может быть реализован — координаты точек становятся мнимыми.
Вы можете использовать это свойство спектра, чтобы проверить правильность матрицы расстояний.
Передышка
Мы определили преобразование отклонений и применили его к матрице квадратов расстояний.Полученная матрица Грина отражает свойства пространства исходного набора точек.
Обратите внимание, что матрица квадратов расстояний эквивалентна матрица резистивных расстояний .
Соответственно, матрица Грина является обратной матрицей по отношению к матрице Кирхгофа (лапласиану графа).
В следующей статье мы продолжим рассматривать спектральные свойства некоторых стандартных наборов геометрических точек — решеток, фигур, линий, а также посмотрим на спектры наборов фигур.
Теги: #матричные преобразования #метрическая геометрия #спектральная геометрия #математика
-
Телевизоры Samsung Для Ее Величества
19 Oct, 24
