В мире геометрии мы часто сталкиваемся с различными формами и фигурами, требующими вычисления их площадей.
Мы знакомы с определением площади многоугольника с использованием таких понятий, как основание и высота.
Однако когда дело доходит до кругов, эти привычные термины уже неприменимы.
В этой статье мы рассмотрим концепцию нахождения площади круга и поймем вывод формулы.
Прежде чем мы углубимся в формулу нахождения площади круга, давайте обсудим интересную перспективу.
Некоторые математики считают круг многоугольником с бесконечным числом сторон.
Хотя эта концепция заимствована из исчисления, мы можем представить ее более простым способом.
Представьте, что вы рисуете треугольник на листе бумаги.
Теперь нарисуйте квадрат, а затем пятиугольник, шестиугольник и восьмиугольник с одинаковой длиной сторон.
По мере увеличения количества сторон вы заметите, что многоугольник все больше и больше начинает напоминать круг.
В исчислении мы размышляем о том, что произойдет, если мы продолжим бесконечно увеличивать число сторон, и называем этот конечный результат «пределом».
В этом случае многоугольник с бесконечным числом сторон становится кругом.
Теперь, когда у нас есть базовое понимание концепции предела, давайте рассмотрим значение числа «пи», прежде чем перейти к формуле для нахождения площади круга.
Пи (π) — иррациональное число и представляет собой отношение длины окружности (расстояния вокруг круга) к его диаметру (расстоянию поперек круга через его центр).
Мы можем выразить длину окружности по двум формулам: C = πd (где d — диаметр) или C = 2πr (где r — радиус).
Чтобы найти площадь круга, нам нужно подойти к нему с другой точки зрения.
Хотя мы можем легко визуализировать и посчитать квадраты, чтобы измерить площадь прямоугольников, квадраты не идеально вписываются в круги.
Следовательно, нам необходимо развивать хорошие навыки мысленного образа и четкое понимание концепции пределов, которую мы обсуждали ранее.
Начнем с того, что нарисуем на нашей «бумаге» круг диаметром от 1 до 2 дюймов.
Далее разделите круг на четыре равные части, проведя еще один диаметр, перпендикулярный исходному.
Теперь у вас должно получиться четыре кусочка в форме пиццы.
Возьмите эти кусочки и расположите их рядом, чередуя направление вверх и вниз.
Полученная форма будет напоминать параллелограмм с двумя выпуклостями или кривыми сверху и снизу и небольшим наклоном в сторону.
Теперь давайте выполним процесс ограничения, который мы описали ранее.
Внутри каждой части нарисуйте еще два диаметра, чтобы разделить их пополам.
Теперь у вас должно получиться восемь частей в форме пирога той же «высоты», что и раньше, но уже.
Расположите эти восемь частей рядом, снова поочередно указывая вверх и вниз.
Мы снова получаем форму, похожую на параллелограмм, но на этот раз наклон в сторону уменьшен.
Стороны становятся более вертикальными, а кривые сверху и снизу сглаживаются, образуя прямоугольник.
По мере того, как мы продолжаем делить круг на все новые и новые части в форме пирога и совмещать их рядом, полученная фигура постепенно превращается в прямоугольник.
Высота этого прямоугольника соответствует радиусу круга (r), а длина верхней и нижней частей соответствует окружности.
Следовательно, основание прямоугольника составляет половину окружности (С).
Площадь круга равна площади прямоугольника.
Поскольку мы знаем формулу площади прямоугольника (A = bh), мы можем изменить ее в соответствии с нашими потребностями.
В этом случае формула принимает вид A = (1/2C)(r).
Теперь, подставив формулу для длины окружности (C = 2πr), мы можем еще больше упростить уравнение.
A = (1/2C)(r) становится A = 1/2(2πr)(r).
Упрощая умножение, приходим к окончательной формуле площади круга: A = πr^2. Эта формула площади круга A = πr^2 служит ценным инструментом для определения площади круга, когда мы знаем радиус или диаметр.
Мы также можем использовать его для определения радиуса или диаметра, необходимого для достижения определенной области.
Давайте рассмотрим пример: Если радиус круга равен 5 см, мы можем найти площадь круга.
Используя формулу A = πr^2, подставляем значение радиуса: A = π(5^2) или A = 25π.
Окончательное представление области будет зависеть от контекста.
Иногда мы предпочитаем выражать ответ через π из-за его точности, в то время как в других ситуациях может потребоваться десятичное приближение, используя значение π как 3. В этом случае круг имеет точную площадь 25π кв.
см, что составляет примерно 75 кв.
см.
При работе с кругами важно помнить несколько предостережений:
- Ответы, включающие π, точны, а десятичные приближения — это всего лишь приближения.
В зависимости от контекста и желаемого уровня точности выберите подходящее представление.
- Не забывайте различать радиус и диаметр круга.
Путаница этих значений может привести к неверным расчетам.
Найдите минутку, чтобы подумать и убедиться, что вы используете правильное измерение.
- Будьте осторожны при работе с формулами длины окружности и площади.
Хотя они могут показаться похожими, они представляют разные аспекты круга.
Прежде чем применять формулу, подумайте, чтобы избежать ошибок.
Поняв вывод формулы и попрактиковавшись в ее применении, вы будете готовы уверенно решать задачи, связанные с кругами.
Не забывайте визуализировать взаимосвязь между кругами, многоугольниками и пределами и всегда дважды проверяйте свои измерения и формулы, чтобы гарантировать точные результаты.
-
Франкоязычный Язык – Что Это Такое?
19 Oct, 24 -
Краснопевцев Дмитрий Михайлович.
19 Oct, 24 -
Можно Ли Пользоваться Чужим Кошельком?
19 Oct, 24 -
Как Распознать Поддельное Электронное Письмо
19 Oct, 24
