В практических приложениях ТАУ часто необходимо точно и эффективно идентифицировать объект управления.
В данной статье речь пойдет об идентификации объекта управления частотным методом.
Этот метод применим, когда есть возможность физически протестировать объект управления синусоидальным входным воздействием, изменяющим частоту в широких пределах.
Если это условие соблюдено, то результат, как правило, оправдывает самые оптимистичные ожидания.
Что тебе нужно знать
Начнем с краткой теоретической подоплеки.Для понимания материала статьи читателю необходимо иметь представление о следующих вещах:
- Преобразование Лапласа
- Линейные динамические системы
- Характеристическое уравнение
- Функция передачи
- Дискретное преобразование Фурье
- Характеристика Боде: LFC и LFCH
Реакция на синусоидальное влияние
Как известно, откликом динамической системы на синусоидальное воздействие является синусоида одинаковой частоты, но разной амплитуды и фазы.Именно эти две характеристики: амплитуда и фаза и образуют график Боде, то есть LFC и LPFC. По сути, задача идентификации динамической системы сводится к экспериментальному нахождению этих двух графиков.
Например, рассмотрим уравнение гармонического осциллятора с ненулевой правой частью как пример линейной динамической системы второго порядка.
Обозначим преобразование Лапласа произвольной функции 
через 
.
Давайте применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения.
Тогда характеристическое уравнение динамической системы будет иметь вид 
И передаточная функция 
Требуемые характеристики ЛФК и ЛЧФК получены заменой 
и берем модуль и аргумент функции 
соответственно 
Здесь 
— амплитуда (Magnitude) и 
— фаза (Phase) соответствующей составляющей на частоте 
.
Результат будет примерно таким 
Характеристика Боде: LFC и LFCH
Эти два графика однозначно характеризуют динамическую систему.
Верно и обратное: зная с некоторой точностью ЛФК и ЛПЧД динамической системы, можно полностью идентифицировать эту систему в некоторых доверительных интервалах.
Вопрос в том, как получить частотную характеристику.
Об этом мы поговорим дальше.
Применив к входу синусоидальный эффект, мы будем наблюдать примерно следующее: 
Синусоидальный вход и реакция системы
График получен в эксперименте.
Как видно из графика, выходной сигнал явно содержит синусоидальную составляющую той же частоты, что и входной сигнал.
Однако помимо этого он может содержать также высшие гармоники и шум.
Но не волнуйтесь, поскольку преобразование Фурье — это мощный аналитический инструмент, который настолько хорош, что может изолировать полезный сигнал, устраняя все помехи.
Дискретное преобразование Фурье
Допустим, мы измерили два графика, входной эффект
и реакция системы
, для заданной входной частоты
.
Необходимо, чтобы оба измерения проводились синхронно и с одинаковым периодом выборки.
, что необходимо знать достаточно точно.
Итак, у нас есть два набора дискретных значений.
И 
, Где 
, А 
И 
- ценности
И
в соответствующие дискретные моменты времени 
.
Следует отметить, что общее время измерения должно быть достаточно большим, чтобы уловить хотя бы несколько (я бы рекомендовал 3 и более) периодов колебаний.
К дискретным множествам 
И 
мы можем применить дискретное преобразование Фурье.
Дискретное преобразование Фурье преобразует вышеуказанные сигналы по времени.
О -й домен в частотную область, то есть
Где 
, А 
И 
— соответствующие комплексные амплитуды 
ые гармоники.
Применение метода
Теперь давайте применим дискретное преобразование Фурье к нашим двум сигналам.
На рисунке ниже показаны графики амплитуд. 
И 
Амплитудный спектр входного и выходного сигнала
График также был получен путем обработки экспериментальных данных.
Как видите, на графике виден резкий пик на частоте 
Гц.
Это «несущая» частота входного воздействия, то есть частота, на которой был возбужден объект управления.
На обоих графиках, входном и выходном, наблюдается пик этой гармоники.
Из двух значений комплексных амплитуд
И
на этой частоте получаем значение передаточной функции 
.
Как мы помним, 
В случае дискретного
И
у нас есть 
Затем мы можем построить точку на графиках LFC и LFFC:
Какую частоту имеет гармоника с номером?
? Отвечаем: частота гармоники определяется формулой 
Вы также можете написать 
Выражение для самой гармоники выглядит следующим образом: 
Описанную выше процедуру необходимо повторить достаточное количество раз, чтобы охватить весь диапазон частот. Обычно более крупные ступени частоты могут использоваться в областях низких и высоких частот. И наоборот, в области промежуточных частот, особенно вблизи резонансов, необходим более тонкий шаг.
Проведя такой эксперимент и обработав данные, получим таблицу частотных характеристик
Можно сразу построить измеренные графики ЛФК и ЛФК.
Это выглядит примерно так 
ЛФК и ЛФФК, построенные по экспериментальным данным
Надо сказать, что хотя мы и использовали дискретные методы, эти два графика отражают динамику оригинальный физическая система, то есть объект управления, без каких-либо упрощений, связанных с дискретизацией (разумеется, в заданном диапазоне частот).
Теперь вам нужно использовать MATLAB, а точнее, System Identification Toolbox. Этот набор инструментов включает в себя приложение для идентификации системы, интерактивное приложение, которое может идентифицировать вашу систему по частотным данным.
Кстати, есть и другие варианты, например идентификация непосредственно по времени.
с м измерений.
Для корректной идентификации необходимо знать порядок работы системы.
Здесь нам поможет диаграмма LFCH. Чтобы узнать порядок системы, посмотрите на график LFFC и оцените, во сколько раз отстает фаза на высоких частотах на 90 градусов.
Количество раз по 90 градусов — это порядок (знаменатель) вашей системы.
Во время идентификации автоматически генерируется отчет, который может быть очень полезен.
Он выглядит вот так
Согласно отчету об идентификации, входные данные на 92,26% удовлетворяют найденной модели.tf1 = From input "u1" to output "y1": -97.64 s + 1.063e04 --------------------- s^2 + 1.547 s + 176.7 Name: tf1 Continuous-time identified transfer function. Parameterization: Number of poles: 2 Number of zeros: 1 Number of free coefficients: 4 Use "tfdata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties. Status: Estimated using TFEST on frequency response data "h".Fit to estimation data: 92.26% (stability enforced) FPE: 120.6, MSE: 112.3
Имеем следующую передаточную функцию физической системы 
Теперь у вас есть объект типа IDTF с именем tf1, с которым вы можете делать все то же самое, что и с любой другой системой LTI в MATLAB. Кроме того, объект содержит информацию о неопределенности внутренних параметров, и если построить график Боде, то на графике можно отобразить доверительные интервалы.
В настройках вы можете указать количество стандартных отклонений.
Идентифицированная модель системы с доверительными интервалами
Для проверки правильности идентификации можно совместить экспериментальные точки с графиками частотных характеристик идентифицированной модели.
Комбинированные графики для LFC и LFFC
Заключение
Использование этого метода значительно упрощает процесс проектирования системы управления.Автор статьи успешно разработал и внедрил в аппаратуру LQG контроллер гидросхемы специального назначения.
Кроме того, этот метод может быть использован для оценки эффективности системы управления при условии, что входное воздействие на объект управления от нежелательных возмущений физически доступно.
Теги: #ТАУ #частота #метод #идентификация #динамическая #система #управление #преобразование Фурье #математика
-
Конверсионное Расстройство
19 Oct, 24 -
Красители И Окрашивание
19 Oct, 24 -
Выделим Суть Новости. Опыт Яндекса
19 Oct, 24 -
Использование Библиотеки Подкачки С Realm
19 Oct, 24 -
О, Карма
19 Oct, 24
