В 28 лет Питер Шольце раскрывает глубокую связь между теорией чисел и геометрией.
В 2010 году в сообществе людей, изучающих теорию чисел, распространился поразительный слух – и достиг Джаред Вайнштейн [Джаред Вайнштейн].
Якобы какой-то аспирант Боннского университета в Германии опубликовал работа , в котором 288-страничное доказательство теоремы теории чисел сжато всего до 37 страниц.
22-летний студент Питер Шольце нашел способ обойти одну из самых сложных частей доказательства, сравнив теорию чисел и геометрию.
«Невероятно, что кто-то столь молодой мог сделать что-то настолько революционное», — говорит Вайнштейн, 34-летний теоретик чисел из Бостонского университета.
«Это определенный повод для уважения».
Математики Боннского университета, которые всего два года спустя присвоили Шольце звание профессора, уже знали о его незаурядных умственных способностях.
После публикации работы на него начали обращать внимание специалисты как по теории чисел, так и по геометрии.
С тех пор Шольце, которому сейчас 28 лет, занял высокое положение в широком математическом сообществе.
Его зовут " один из самых влиятельных математиков в мире ", И " редкий талант, который проявляется раз в несколько десятилетий ".
О нем говорят как о любимый среди претендентов на Медаль Филдса — одну из высших наград для математика.
Ключевому нововведению Шольце — классу фрактальных структур, которые он назвал перфектоидными пространствами, — исполнилось всего несколько лет, но оно уже приводит к далеко идущим последствиям в области арифметической геометрии, в которой сливаются теория чисел и геометрия.
Вайнштейн говорит, что работа Шольце была провидческой.
«Он смог увидеть последствия еще до того, как они начали происходить».
Бхаргав Бхатт [Бхаргав Бхатт], математик из Мичиганского университета, сотрудничавший с Шольце, говорит, что многие математики реагируют на его работу «со смесью трепета, страха и волнения».
И дело не в его характере, который коллеги характеризуют как простодушный и щедрый.
«Он никогда не дает тебе понять, что он превосходит тебя», — говорит Юджин Хелман [Ойген Хеллманн], университетский коллега Шольце.
Скорее, это из-за его пугающей способности так глубоко проникать в суть математической проблемы.
В отличие от многих математиков, он начинает работу не с конкретной задачи, которую нужно решить, а с какой-то неуловимой концепции, которую он хочет понять ради интереса.
Но тогда, как он утверждает Анна Караяни [Ана Караиани, теоретик чисел из Принстонского университета, работавшая с Шольце, чьи конструкции «находят применение миллионом других способов, которые изначально не были предсказаны, просто потому, что для изучения были выбраны правильные вещи».
Изучение арифметики 
Институт математики Боннского университета, Германия
Шольце начал самостоятельно изучать математику в колледже в возрасте 14 лет, посещая гимназию Генриха Герца, берлинскую школу с упором на математику и естественные науки.
В этой гимназии, как описывал Шольце, «ты не был чужаком, если тебя интересовала математика».
В 16 лет Шольце узнал, что десятью годами ранее Эндрю Уайлс доказал знаменитую теорему 17-го века, известную как Последняя теорема Ферма , который утверждает, что уравнение x н + й н = г н решений в целых числах больше нуля при n > 2 не существует. Шольце очень хотел изучить доказательство, но быстро выяснилось, что, несмотря на простоту теоремы, в ее доказательстве используется математика самого продвинутого уровня.
«Я ничего не понял, но это было очень круто», — говорит он.
И Шольце начал исследовать, какие пробелы в знаниях ему необходимо заполнить, чтобы понять это доказательство.
«И именно так я обычно всему учусь», — говорит он.
«Я никогда не изучал базовых вещей, таких как линейная алгебра — я изучал их, изучая что-то другое».
Погруженный в доказательство, он был поражен математическими объектами, называемыми модульные формы И эллиптические кривые , которые загадочным образом объединяют такие разрозненные области, как теория чисел, алгебра, геометрия и анализ.
Он сказал, что изучение типов объектов, используемых в доказательстве, возможно, даже более интересно, чем само доказательство.
Математические вкусы Шольце начали формироваться.
Сегодня он по-прежнему тяготеет к задачам, связанным с простыми уравнениями и целыми числами.
И эти осязаемые корни совершенно ясно позволяют ему ощущать даже эзотерические математические структуры.
«По сути, я увлекаюсь арифметикой», — говорит он.
Он говорит, что больше всего счастлив, когда абстрактные конструкции возвращают его к небольшим открытиям, связанным с обычными целыми числами.
После окончания школы Шольце продолжил изучать теорию чисел и геометрию в Боннском университете.
Как вспоминает его одноклассник Хельман, Шольце на уроках математики ничего не записывал.
Хелман утверждает, что Шольце понимал материал курса в режиме реального времени.
«Не просто понял, а понял на каком-то глубоком уровне, что позволило ему запомнить материал».
Шольце начал изучать арифметическую геометрию, используя геометрические инструменты для понимания целочисленных решений.
полиномиальные уравнения - например, ху 2 + 3y = 5, где задействованы только числа, переменные и степени.
Для некоторых из этих уравнений полезно выяснить, имеют ли они решения в альтернативной системе счисления, называемой p-адическими числами.
Как и действительные числа, они создаются путем заполнения пробелов между целыми и дробными числами.
Но в основе этой системы лежит нестандартное представление о расположении этих пустот и близости чисел друг к другу.
В р-адической системе два числа близки не тогда, когда разница между ними мала, а когда разница между ними делится на степень р (чем выше степень, тем ближе числа).
Критерий странный, но полезный.
Например, 3-адические числа помогут вам более естественно выучить такие уравнения, как x. 2 = 3 года 2 , в котором ключевым фактором является три.
P-адические числа «далеки от повседневной интуиции», говорит Шольце.
Но с годами они стали для него естественными.
«Для меня действительные числа более сложны, чем p-адические числа.
Я так к ним привык, что настоящие кажутся мне гораздо более странными».
В 1970-х годах математики заметили, что многие задачи с p-адическими числами стали проще, если числа были расширены бесконечной башней систем счисления, в которой каждая из них оборачивалась вокруг нижней части p раз, а p-адические числа располагались внизу.
башня.
«На вершине» бесконечной башни находится оберточное пространство, фрактальный объект, являющийся простейшим примером перфектоидных пространств, которые позже разработает Шольце.
Шольце поставил перед собой задачу понять, почему эти бесконечные конструкции-обертки так сильно упрощают многие задачи, связанные с p-адическими числами и многочленами.
«Я пытался понять суть этого явления», — говорит он.
«Не существовало единого формализма, который мог бы это объяснить».
В какой-то момент он понял, что можно создавать перфектоидные пространства для самых разных математических структур.
Он показал, что эти пространства позволяют перенести вопросы, связанные с полиномами, из мира p-адических чисел в другие математические области, где арифметика значительно упрощается (например, нет необходимости переносить их для сложения).
«Самое странное в перфектоидных пространствах — это то, что они могут волшебным образом перемещаться между двумя системами счисления», — говорит Вайнштейн.
Это осознание позволило Шольце доказывать часть сложного утверждения о p-адических решениях полиномов, называемого «гипотезой взвешенной монодромии», и он написал ее в качестве докторской диссертации в 2012 году.
«Эта работа имеет настолько далеко идущие последствия, что стала предметом исследования группы ученых по всему миру», — говорит Вайнштейн.
Хельман говорит, что Шольце «нашел наиболее правильный и простой способ использования всей предыдущей работы и нашел для нее изящную формулировку — а затем, поскольку он нашел очень правильный инструмент, он смог выйти далеко за пределы известных результатов».
Полет над джунглями 
Петер Шольце в июне на семинаре по геометрии в Броннском университете.
Несмотря на сложность перфектоидных пространств, Шольце славится ясностью своих отчетов и работ. «Я ничего не понимал, пока Питер не объяснил мне это», — говорит Вайнштейн.
По словам Караяни, Шольце пытается объяснить свои идеи на уровне, понятном даже первокурсникам.
«Это дает ощущение открытости и щедрости идей», — говорит она.
«И это происходит не только с группой старых математиков; у него есть доступ ко многим молодым людям».
По словам Караяни, дружелюбная и открытая манера поведения Шольце делает его идеальным лидером в своей области.
Однажды, когда он и Шольце отправились в сложный поход по пересеченной местности, «он бегал вокруг, проверяя, все ли на месте, и проверяя всех», — говорит Караяни.
Но, по словам Хеллмана, даже после объяснений Шольце другим исследователям трудно понять перфектоидные пространства.
«Сойдите с пути, предложенного Шольце, и вы окажетесь в джунглях, где все очень сложно».
Но сам Шольце «никогда бы не заблудился в джунглях, потому что он с ними не борется.
Он всегда смотрит в будущее, чтобы увидеть общую концепцию».
Шольце не запутывается в виноградных лозах, потому что заставляет себя летать над ними, как в колледже, когда он предпочитал работать, не делая конспектов.
Он говорит, что это означает необходимость формулировать свои идеи максимально простым способом.
«Возможности вашей головы ограничены, поэтому вы не сможете делать в ней очень сложные вещи».
В то время как другие математики только начинают понимать перфектоидные пространства, некоторые из наиболее далеко идущих открытий в этой области, что неудивительно, были сделаны Шольце и его соавторами.
Результат, опубликованный в 2013 году, «привел сообщество в замешательство», сказал Вайнштейн.
«Мы никогда не предполагали, что такая теорема может появиться».
Результат Шольце расширенный объем правил, известных как законы взаимности, управляющих поведением полиномов с использованием арифметики по модулю (или арифметики часов - не обязательно 12-часовой арифметики).
Арифметика по модулю (в которой, например, 8 + 5 = 1, если часы стоят в 12 часов) — самая естественная и популярная для изучения система конечных чисел в математике.
Законы взаимности являются обобщением закона взаимности квадратичных вычетов, открытого 200 лет назад. Это краеугольный камень теории чисел и одна из любимых теорем Шольце.
Закон гласит, что для двух простых чисел p и q в большинстве случаев p будет точным квадратом в модульной арифметике по модулю q, когда q является полным квадратом в модульной арифметике по модулю p. Например, 5 — это идеальный квадрат на циферблате с 11 часами (в модульной арифметике по модулю 11), поскольку 5 = 16 = 4. 2 , а 11 — полный квадрат на циферблате в положении «5 часов», поскольку 11 = 1 = 1. 2 .
«Для меня это неожиданно», — говорит Шольце.
«На первый взгляд, эти две вещи не связаны друг с другом».
По словам Вайнштейна, «большую часть современной алгебраической теории чисел можно рассматривать как попытку обобщить этот закон».
В середине двадцатого века математики обнаружили невероятную связь между законами взаимности и, казалось бы, совершенно другой областью — гиперболической геометрией узоров, таких как знаменитые плитки ангелов и дьяволов Шеры.
Эта связь является центральной частью программы Ленглендса, набора взаимосвязанных гипотез и теорем, касающихся взаимосвязей между теорией чисел, геометрией и анализом.
Когда гипотезы удается доказать, они оказываются очень мощными инструментами: например, доказательство Великой теоремы Ферма основано на решении одной небольшой (хотя и нетривиальной) части Программы.
Математики постепенно осознали, что программа Ленглендса выходит далеко за рамки гиперболического диска; его также можно изучать в гиперболических пространствах более высокого порядка и во многих других контекстах.
Шольце показал, как распространить его на обширный набор структур в «гиперболическом трехмерном пространстве» — трехмерном аналоге гиперболического диска — и за его пределами.
Построив перфектоидную версию гиперболического трехмерного пространства, Шольце открыл совершенно новый набор законов взаимности.
«Работа Питера полностью изменила наше представление о том, что можно сделать и чего мы можем достичь», — говорит Караяни.
Вайнштейн говорит, что результат Шольце показывает, что программа Ленглендса «глубже, чем мы думали.
более систематичной и всеобъемлющей».
Перемотка назад 
Обсуждать математику с Шольце — это все равно, что консультироваться с оракулом, говорит Вайнштейн.
«Если он скажет: «Да, это сработает», то вы можете быть в этом уверены.
Если он говорит «нет», нужно немедленно сдаваться; если он говорит, что не знает (что происходит), ну тогда тебе повезло, у тебя интересная проблема».
Караяни говорит, что сотрудничать с Шольце не так сложно, как может показаться.
Когда она работала с ним, она никогда не чувствовала спешки.
«Как будто мы всегда все делаем правильно — каким-то образом доказываем наиболее общую теорему наилучшим образом, создавая правильные конструкции, проливающие свет на вещи».
Правда, однажды Шольце торопился – пытался закончить работу в конце 2013 года до рождения дочери.
По его словам, хорошо, что он тогда спешил.
«С тех пор я мало что сделал».
Став отцом, он стал более дисциплинированно относиться к своему графику.
Но ему не приходится специально уделять время исследованиям — он просто заполняет пробелы между другими обязанностями.
«Математика – моя страсть.
Я хочу думать о ней все время».
Однако он не склонен романтизировать эту страсть.
Когда его спросили, что значит быть математиком, он колебался.
«Это звучит слишком философски».
Он любит уединение, и чувствует себя некомфортно при возрастающей известности (например, в марте он стал самым молодым лауреатом Премия Лейбница , предоставив 2,5 миллиона евро на дальнейшие исследования).
«Иногда это слишком», — говорит он.
«Я стараюсь убедиться, что это не влияет на мою повседневную жизнь».
Шольце продолжает изучать перфектоидные пространства, а также исследует другие области, в частности алгебраическую топологию — она использует алгебру для изучения форм.
«За последние полтора года Питер полностью освоил этот предмет», — говорит Бхатт. «Он изменил мнение экспертов по этой теме».
Бхатт говорит, что другие математики чувствуют одновременно и страх, и восторг, когда Шольце касается их области.
«Это значит, что теперь тема начнет очень быстро развиваться.
Я очень рад, что он работает в области, связанной с моей, и я действительно вижу, как расширяются границы знаний».
Сам Шольце считает свою работу простой разминкой.
«Я все еще нахожусь на этапе изучения того, что уже существует, и просто формулирую знания по-своему», — говорит он.
«У меня нет ощущения, что я еще начал заниматься исследованиями».
Теги: #теория чисел #пространства перфектоидов #p-адические числа #арифметика #математика
-
Как Яндекс «Опустил» Меня На 1000 Рублей...
19 Oct, 24 -
Вконтакте Ddosit Antigate.com
19 Oct, 24 -
Безлимит От Мегафона Больше Не Безлимитный
19 Oct, 24 -
Размышления Об Идеальном Случае
19 Oct, 24 -
Мозговой Штурм: Теория И Провал
19 Oct, 24
