Теория Покера - Непарная Рука Против Вероятности Того, Что У Противника Карманная Пара

Мой вопрос следующий:
Какова вероятность встретить карманную пару (на префлопе) с разномастной рукой?

Я сделал некоторые расчеты, учитывая одного противника. Я показываю их здесь.

Исходные данные о проблеме:

Рассматриваются только два игрока.

• Игрок 1 получает две разномастные карты (это важно).
  
• Следовательно, оставшаяся колода карт содержит 50 карт в том виде, в котором они остались:
  • 11 номиналов карт 4 мастей. Итак 44 карты.
  • 2 значения карт с 3 мастями. Итак 6 карт.

Учитывая эти данные, можно рассматривать следующие события:

Зная это:

Прямой расчет вероятности события А:

Этот расчет можно проверить, определив дополнительный случай:

Попытайтесь рассчитаться с двумя противостоящими игроками.

Главный вопрос:

Простое добавление игрока противника, похоже, значительно усложняет этот расчет (по крайней мере, я делаю это неправильно). Более того, расчетная вероятность уменьшается, тогда как интуитивно она должна увеличиваться.

Существует ли формула расчета, позволяющая получить «просто» результат для числа n игроков?

Временный ответ:

Благодаря формуле BowlOfRed мы можем получить приблизительное, но, тем не менее, точное значение ответа на мой вопрос.

Более того, мы можем выполнить относительно надежную линейную регрессию этих значений и получить следующую формулу:

Вероятность = 4 х «количество игроков» + 3

Получаем следующую таблицу:

Если мы увидим, что относительная ошибка не является незначительной на определенной линии, она остается вполне приемлемой для мысленного расчета (что и является целью) и быстрого получения полезного значения.
Я все еще работаю над численным методом расчета. Результат отпишу, как закончу работу.

Не стесняйтесь, если вы заметите какие-либо ошибки в расчетах или у вас возникнут другие замечания или вопросы.

Я предполагаю, что разномастная рука первого игрока также не может быть парой.

Для полной колоды у вас есть 3/51 шансов составить пару вашей руки со второй картой. Это то же самое, что и 78 парных комбинаций из 1326 комбинаций по 2 карты (~0,05882).

Если первый игрок уберет непарную карту (одномастную или разномастную не имеет значения), то для оставшихся 50 карт теперь останется только 72 парные комбинации из 1225 комбинаций. У второго игрока в этой ситуации шанс получить пару составляет ~0,05877.

Для всех остальных игроков существует некоторая зависимость от предыдущих розыгрышей, но для первых нескольких игроков зависимость невелика. Вы не сильно ошибетесь, если посчитаете их независимыми. В этом случае вероятность встретить ни одного игрока с парой равна почти (1 - (72/1225))^n.

У нас разномастные шансы на отсутствие пары для n игроков:

• еще 1: 0,94
• 2 других: 0,88
• 3 других: 0,83
• 4 других: 0,78
• 5 других: 0,74

Это очень хорошо согласуется с моделированием, в котором оценивалось 5000000 сделок разномастной непары. Ниже приведена вероятность того, что пара удерживается противником на позиции n или ниже.

 Position - probability of pair - probability of no pair
1 - 0.0585 - 0.9415
2 - 0.1139 - 0.8861
3 - 0.1659 - 0.8341
4 - 0.2149 - 0.7851
5 - 0.2610 - 0.7390
6 - 0.3042 - 0.6958
7 - 0.3448 - 0.6552
8 - 0.3831 - 0.6169
9 - 0.4192 - 0.5808
10 - 0.4531 - 0.5469
 

Если исходная рука не ограничена (разрешены одномастные карты и пары), то вероятности изменяются очень незначительно. Колода из 50 и 52 карт очень похожа.