- 15, May 2023
- #1
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Тогда по теореме Пифагора имеем: a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2 Пусть $CD$ — бисектриса острого угла $C$. Тогда $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки $AC=x$ и $BC=y$, причем $x:y=b:a$, так как бисектриса делит угол пополам.
Из этого следует, что xb=ya⇒x=ba+bc,y=aa+bc\frac{x}{b}=\frac{y}{a} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{b}{a+b}c,\quad y=\frac{a}{a+b}cbx=ay⇒x=a+bbc,y=a+bac По формуле для площади треугольника $S=\frac{1}{2}ab$. В нашем случае: S=12ab=12⋅12c⋅12c=18c2S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}c\cdot\frac{1}{2}c=\frac{1}{8}c^2S=21ab=21⋅21c⋅21c=81c2 Осталось выразить $c$ через $a$ и $b$: c=a2+b2c=\sqrt{a^2+b^2}c=a2+b2 Таким образом, S=18(a2+b2)S=\frac{1}{8}(a^2+b^2)S=81(a2+b2) Из условия задачи мы знаем, что $x:y=6:10$. Подставляя выражения для $x$ и $y$, получаем уравнение: ba+b=35\frac{b}{a+b}=\frac{3}{5}a+bb=53 Решая его относительно $b$, получаем: b=32ab=\frac{3}{2}ab=23a Подставляя это соотношение в формулу для площади, получаем: S=18(a2+94a2)=532a2S=\frac{1}{8}(a^2+\frac{9}{4}a^2)=\frac{5}{32}a^2S=81(a2+49a2)=325a2 Осталось найти $a$ и $c$. Из соотношения $b=\frac{3}{2}a$ и теоремы Пифагора имеем: a2+(32a)2=c2⇒c=a132a^2+(\frac{3}{2}a)^2=c^2 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{a\sqrt{13}}{2}a2+(23a)2=c2⇒c=2a13 Из условия задачи следует, что ba+b=35⇒a=5b2\frac{b}{a+b}=\frac{3}{5} \quad\Rightarrow\quad a=\frac{5b}{2}a+bb=53⇒a=25b Подставляем это в выражение для $c$: c=5134bc=\frac{5\sqrt{13}}{4}bc=4513b Наконец, можно найти $b$ из условия, что отрезки $AC$ и $BC$ равны 6 и 10 см: x=ba+bc=616c=3134bx=\frac{b}{a+b}c=\frac{6}{16}c=\frac{3\sqrt{13}}{4}bx=a+bbc=166c=4313b
Из этого следует, что xb=ya⇒x=ba+bc,y=aa+bc\frac{x}{b}=\frac{y}{a} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{b}{a+b}c,\quad y=\frac{a}{a+b}cbx=ay⇒x=a+bbc,y=a+bac По формуле для площади треугольника $S=\frac{1}{2}ab$. В нашем случае: S=12ab=12⋅12c⋅12c=18c2S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}c\cdot\frac{1}{2}c=\frac{1}{8}c^2S=21ab=21⋅21c⋅21c=81c2 Осталось выразить $c$ через $a$ и $b$: c=a2+b2c=\sqrt{a^2+b^2}c=a2+b2 Таким образом, S=18(a2+b2)S=\frac{1}{8}(a^2+b^2)S=81(a2+b2) Из условия задачи мы знаем, что $x:y=6:10$. Подставляя выражения для $x$ и $y$, получаем уравнение: ba+b=35\frac{b}{a+b}=\frac{3}{5}a+bb=53 Решая его относительно $b$, получаем: b=32ab=\frac{3}{2}ab=23a Подставляя это соотношение в формулу для площади, получаем: S=18(a2+94a2)=532a2S=\frac{1}{8}(a^2+\frac{9}{4}a^2)=\frac{5}{32}a^2S=81(a2+49a2)=325a2 Осталось найти $a$ и $c$. Из соотношения $b=\frac{3}{2}a$ и теоремы Пифагора имеем: a2+(32a)2=c2⇒c=a132a^2+(\frac{3}{2}a)^2=c^2 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{a\sqrt{13}}{2}a2+(23a)2=c2⇒c=2a13 Из условия задачи следует, что ba+b=35⇒a=5b2\frac{b}{a+b}=\frac{3}{5} \quad\Rightarrow\quad a=\frac{5b}{2}a+bb=53⇒a=25b Подставляем это в выражение для $c$: c=5134bc=\frac{5\sqrt{13}}{4}bc=4513b Наконец, можно найти $b$ из условия, что отрезки $AC$ и $BC$ равны 6 и 10 см: x=ba+bc=616c=3134bx=\frac{b}{a+b}c=\frac{6}{16}c=\frac{3\sqrt{13}}{4}bx=a+bbc=166c=4313b
![[Олег Стадник] «Пpoдажи » и «Пepeговоры » . Две пcихологии однoго влияния](/assets/images/icons/forum5.png){kind=icon}
![[Татьяна Чернова] Обтравка. Способы и методы (1-2 части)](/assets/images/icons/forum7.png){kind=icon}
