Книга "Real Analysis" представляет собой уникальный подход к анализу, который позволяет применять математику в широком диапазоне научных дисциплин. В этой инновационной книге представлено строгое и современное описание теоретических основ калькуляса, таких как непрерывность, дифференцируемость и сходимость. С использованием конструктивного подхода каждое доказательство каждого результата является прямым и в конечном итоге может быть вычислено на компьютере. В частности, существование никогда не устанавливается путем демонстрации того, что предположение о его отсутствии приводит к противоречию. Конечным результатом этого метода является то, что он понятен не только для студентов математических специальностей, но и для студентов всех научных направлений.
Книга начинается с построения действительных чисел, начиная с рациональных чисел и используя интервальную арифметику. Это знакомит читателей с навыками рассуждения и написания доказательств, необходимыми для выполнения и коммуникации математических задач, и является основой для остальной части книги, которая включает:
- Использование теоремы о полноте для доказательства полезной теоремы об обратной функции
- Последовательности, пределы и ряды, и тщательное получение формул и оценок для важных функций
- Упор на равномерную непрерывность и ее последствия, такие как ограниченность и расширение равномерно непрерывных функций из плотных подмножеств
- Построение интеграла Римана для функций, равномерно непрерывных на интервале, и его расширение до несобственных интегралов
- Дифференцирование, с акцентом на производную как на функцию, а не на покоординатный предел
- Свойства последовательностей и рядов непрерывных и дифференцируемых функций
- Ряды Фурье и введение в более продвинутые идеи функционального анализа
Примеры по всей книге демонстрируют применение новых концепций. Читатели могут проверить свои навыки решения задач и проектов, варьирующихся по сложности от простых до сложных. Эта книга предназначена преимущественно для бакалавров, и автор понимает, что многие читатели не продвинутся в более сложные области чистой математики. Поэтому он акцентирует внимание на подходе к математическому анализу, который может быть применен в различных областях инженерии и наук.
Электронная Книга «Real Analysis» написана автором Группа авторов в году.
Минимальный возраст читателя: 0
Язык: Английский
ISBN: 9781118031568
Описание книги от Группа авторов
A unique approach to analysis that lets you apply mathematics across a range of subjects This innovative text sets forth a thoroughly rigorous modern account of the theoretical underpinnings of calculus: continuity, differentiability, and convergence. Using a constructive approach, every proof of every result is direct and ultimately computationally verifiable. In particular, existence is never established by showing that the assumption of non-existence leads to a contradiction. The ultimate consequence of this method is that it makes sense—not just to math majors but also to students from all branches of the sciences. The text begins with a construction of the real numbers beginning with the rationals, using interval arithmetic. This introduces readers to the reasoning and proof-writing skills necessary for doing and communicating mathematics, and it sets the foundation for the rest of the text, which includes: Early use of the Completeness Theorem to prove a helpful Inverse Function Theorem Sequences, limits and series, and the careful derivation of formulas and estimates for important functions Emphasis on uniform continuity and its consequences, such as boundedness and the extension of uniformly continuous functions from dense subsets Construction of the Riemann integral for functions uniformly continuous on an interval, and its extension to improper integrals Differentiation, emphasizing the derivative as a function rather than a pointwise limit Properties of sequences and series of continuous and differentiable functions Fourier series and an introduction to more advanced ideas in functional analysis Examples throughout the text demonstrate the application of new concepts. Readers can test their own skills with problems and projects ranging in difficulty from basic to challenging. This book is designed mainly for an undergraduate course, and the author understands that many readers will not go on to more advanced pure mathematics. He therefore emphasizes an approach to mathematical analysis that can be applied across a range of subjects in engineering and the sciences.
