Это брошюра, написанная на основе лекции, которую автор прочитал 4 декабря 2004 года в МГУ для школьников 9-11 классов. В ней рассказывается об одной из известных задач комбинаторной геометрии - гипотезе Борсука. Гипотеза утверждает, что любое ограниченное множество в n-мерном пространстве можно разбить на n+1 часть с меньшим диаметром.
В начале подробно разбираются случаи малых размерностей и доказывается, что при n=1, 2, 3 гипотеза верна. Далее приводятся различные оценки сверху для числа Борсука в зависимости от размерности. Также рассматривается связь гипотезы с другими задачами комбинаторной геометрии.
В заключительных главах анализируются контрпримеры к гипотезе Борсука, история снижения минимальной размерности, в которой строится контрпример, и улучшения нижней оценки.
Многие главы содержат задачи, часть из которых - упражнения для лучшего понимания материала. Некоторые задачи сложны и отмечены звездочкой.
Брошюра предназначена для широкого круга читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей. Требуются элементарные знания комбинаторики, а также будет полезно знакомство с аналитической геометрией и началами анализа.
"Проблема Борсука. Учебное пособие" - это брошюра, основанная на материалах лекции, прочитанной автором 4 декабря 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов. Она посвящена известной задаче комбинаторной геометрии, известной как гипотеза Борсука. Гипотеза утверждает, что в n-мерном пространстве любое ограниченное множество можно разбить на n+1 часть меньшего диаметра.
В начале книги детально анализируются случаи с низкой размерностью и доказывается, что гипотеза верна при n=1, 2, 3. Затем приводятся различные оценки сверху для числа Борсука в зависимости от размерности. Кроме того, рассматривается связь гипотезы Борсука с другими задачами комбинаторной геометрии, такими как проблема освещения, задача Грюнбаума и задача о хроматическом числе.
В заключительных главах книги приводятся контрпримеры к гипотезе Борсука, история понижения минимальной размерности, в которой строится контрпример, а также улучшения оценки снизу. Во многих главах представлены задачи, некоторые из которых являются упражнениями, помогающими читателю лучше усвоить материал. Некоторые задачи являются сложными и отмечены звездочками, а некоторые представляют собой открытые проблемы.
Это учебное пособие предназначено для широкого круга читателей, интересующихся математикой, включая школьников старших классов, студентов младших курсов и учителей. Для полного понимания материала необходимо знание основных понятий комбинаторики, а также может быть полезным (но не обязательным) знакомство с аналитической геометрией и началами анализа.
Брошюра, написанная по материалам лекций, прочитанных автором 4.12.2004 на "Малом мехмате" МГУ для школьников 8-11 классов, рассказывает об одной из самых известных задач комбинаторики – "гипотезе Борсука", согласно которой любое ограниченное множество точек N–мерного пространства можно разделить на N+1 подмножество меньшего диаметра.
В работе подробно разобраны случаи "малых размерностей"; доказано, что гипотеза верна для N = 1,2,3. Приведены верхние оценки на число Борсука (максимальное количество подмножеств данного множества) в зависимости от N. Рассмотрено также взаимодействие гипотезы Борсука с другими задачами комбинаторики. Заключительные разделы посвящены контрпримерам (асимптотически наименьшей n, при которой гипотеза неверна); историям появления этих контрпримеров; а также оценкам снизу на число Борсука при наличии контрпримера. Многие главы сопровождаются задачами, некоторые из которых – это технические упражнения или предложения, служащие для развития и углубления понимания изложенного материала (сложные задачи обозначены звездочкой и для их решения иногда необходимы знания, выходящие за рамки школьных учебников). Читатель должен быть знаком с элементарными комбинаторными понятиями и, возможно, элементарной аналитической геометрий и математическим анализом.
Электронная Книга «Проблема Борсука. Учебное пособие» написана автором Андрей Райгородский в 2015 году.
Минимальный возраст читателя: 0
Язык: Русский
Серии: Библиотека «Математическое просвещение»
ISBN: 978-5-4439-0163-3
Описание книги от Андрей Райгородский
Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 4 декабря 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов. В ней рассказывается об одной из знаменитых задач комбинаторной геометрии – гипотезе Борсука, которая утверждает, что в n-мерном пространстве всякое ограниченное множество можно разбить на n+1 часть меньшего диаметра. Вначале подробно анализируются случаи малых размерностей и доказывается, что при n=1, 2, 3 гипотеза верна. Далее приводятся различные оценки сверху для числа Борсука в зависимости от размерности. Кроме того, рассматривается связь гипотезы с другими проблемами и задачами комбинаторной геометрии (проблема освещения, задача Грюнбаума, задача о хроматическом числе). В заключительных главах рассматриваются контрпримеры к гипотезе Борсука и история понижения минимальной размерности, в которой строится контрпример, а также улучшения оценки снизу. Многие главы снабжены задачами. Некоторые из них – это упражнения, прорешав которые, читатель лучше прочувствует материал. На некоторые задачи опирается основной текст. Сложные задачи отмечены звёздочками (некоторые являются открытыми проблемами). Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей. От читателя потребуется знание элементарных понятий комбинаторики, а кроме того, будет полезным (но не обязательным) знакомство с аналитической геометрией и началами анализа.
