Число 6174 поистине загадочно.
На первый взгляд может показаться, что ничего уникального в этом нет. Но, как мы увидим позже, любой, кто умеет считать, может раскрыть секрет, который делает число 6174 таким особенным.
Функция КапрекараВ 1949 году математик Д.
Р.
Капрекар из Долали (Индия) придумал математическую операцию, которая сейчас известна как функция Капрекара.
Для начала выберите любое число, в котором цифры не повторяются (то есть не 1111, 2222 и т. д.).
Затем переставьте числа так, чтобы получить как можно большее, так и наименьшее возможное число.
Затем нужно вычесть меньшее из большего и повторить операцию с полученным числом.
Это простое действие, но Капрекар обнаружил, что оно дает потрясающие результаты.
Давайте посмотрим, как это работает, например, на числе 2005. Из этих чисел мы можем получить максимальное число 5200, а минимальное 0025, то есть 25. Вычитания будут выглядеть так: 5200 — 0025 = 5175 7551 — 1557 = 5994 9954 — 4599 = 5355 5553 — 3555 = 1998 9981 — 1899 = 8082 8820 — 0288 = 8532 8532 — 2358 = 6174 7641 — 1467 = 6174 Когда мы достигаем 6174, функция повторяется, каждый раз возвращая 6174. Мы называем число 6174 фиксированной точкой этой функции.
Это число останавливает ряд вычитаний, но действительно ли это единственная его особенность? Здесь нас ждет еще один сюрприз.
Попробуем повторить операцию с каким-нибудь другим числом, например, 1789.
9871 — 1789 = 8082
8820 — 0288 = 8532
8532 — 2358 = 6174
У нас снова 6174! 
Когда мы начинали с 2005 года, мы достигли 6174 за семь шагов, а к 1789 году процесс занял три шага.
На самом деле вы получите 6174 для любого четырехзначного числа, в котором не все цифры равны.
Это потрясающе, не так ли? Функция Капрекара такая простая, но дает такой интересный результат. И становится еще интереснее, если задуматься о причинах, по которым все четырехзначные числа достигают загадочного числа 6174. Всего 6174? Из цифр каждого четырехзначного числа максимальное число можно получить, переставляя цифры в порядке убывания, а минимальное число получается, переставляя их в порядке возрастания.
Для четырех цифр а, б, в, г : 9 ≥ а ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 Где а, б, в, г это не одинаковые цифры, максимальное число равно abcd , а минимум - dcba .
Мы можем вычислить результат функции Капрекара, составив систему уравнений.
abcd -dcba ____ АВСD что дает следующий результат D = 10 + d - а (если а > d) C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (если b > c - 1) B = b - 1 - c (если b > c) А = а - г для чисел, где а> б> в> г .
Результат начнет повторяться, если окончательное число АВСD можно записать исходными четырьмя цифрами а, б, в И д .
Таким образом, мы можем найти фиксированную точку функции Капрекара, перепробовав все возможные комбинации.
{а, б, в, г} и проверяют, выполняются ли вышеуказанные условия.
Каждый из 4! = 24 комбинации дают систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, поэтому у нас не должно возникнуть проблем с решением этой системы для а, б, в И д .
Оказывается, только одна из этих комбинаций имеет целочисленное решение, удовлетворяющее требованию 9 ≥ а ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 .
Это комбинация ABCD = bdac , и единственным решением системы уравнений является а=7, б=6, в=4 И д=1 .
То есть АВСD = 6174. Для одинаковых цифр {а, б, в, г} система не имеет правильного решения.
Следовательно, число 6174 является единственной неподвижной точкой функции Капрекара — наше загадочное число уникально.
Для трехзначных чисел наблюдается то же явление.
Например, применение функции Капрекара к числу 753 дает следующее: 753 — 357 = 396 963 — 369 = 594 954 — 459 = 495 954 — 459 = 495 Число 495 является единственной фиксированной точкой для трехзначных чисел, и все трехзначные числа со временем сводятся к нему.
Вы можете проверить это сами.
Как быстро появляется 6174? Это было где-то в 1975 году, когда я впервые услышал о числе 6174 от друга и был тогда весьма впечатлен.
Я думал, что будет довольно просто объяснить причины этого явления, но не смог найти объяснения.
Я проверил все четырехзначные числа на компьютере.
Программа заняла около 50 строк Visual Basic и проверила все 8991 четырехзначную комбинацию от 1000 до 9999, где символы не повторяются.
В таблице ниже показан результат: каждое число достигает 6174 максимум за семь итераций.
Если за семь итераций вы не достигли 6174, то у вас просто ошибка в расчетах и нужно попробовать еще раз!
| Итерации | Количество чисел |
| 0 | 1 |
| 1 | 356 |
| 2 | 519 |
| 3 | 2124 |
| 4 | 1124 |
| 5 | 1379 |
| 6 | 1508 |
| 7 | 1980 |
, Число для ваших мыслей: факты и предположения о числах.
, Бристоль: Хильгер (1986)] утверждает, что этого достаточно, чтобы проверить всего 30 возможных четырехзначных чисел для проверки функции Капрекара.
Как и прежде, давайте представим четыре цифры как abcd , Где 9 ≥ а ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 .
Рассчитаем первое действие в цепочке.
Максимальное количество 1000а+100б+10в+д , а минимум - 1000д+100с+10б+а .
Таким образом, операция вычитания сводится к следующему: 1000а+100б+10в+д — (1000д+100в+10б+а) = 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + (d-a) = 999(а-г) + 90(б-в) Положительное значение (объявление) находится в диапазоне от 1 до 9, а (До нашей эры) - от 0 до 9. Перебрав все возможные варианты, мы сможем увидеть все возможные результаты первого действия вычитания.
Они показаны в таблице.
Нас интересуют только числа, в которых цифры не совпадают и а ≥ b ≥ c ≥ d ,
поэтому мы берем только те, в которых (а-г) ≥ (б-в) .
Таким образом, мы можем игнорировать всю серую область в таблице, содержащую числа, где (объявление) < (b-c) .
Теперь переставим числа в таблице в порядке убывания, чтобы получить минимальное число, готовое для второго вычитания.
Мы можем игнорировать дубликаты (серая зона), и для продолжения операции осталось ровно 30 чисел.
На следующей диаграмме показаны пути, по которым все эти числа приходят к постоянному результату 6174. 
Из этой диаграммы видно, как все четырехзначные числа достигают 6174 и происходит это максимум за семь итераций.
Но даже после этого мне кажется, что число 6174 остаётся весьма загадочным.
Я считаю, что Капрекар, открывший это число, был чрезвычайно умен и имел много времени, чтобы подумать над этой проблемой! Двухзначные, пятизначные, шестизначные и более.
Мы уже видели, что четырех- и трехзначные числа достигают единственной фиксированной точки, а как насчет чисел с другим количеством цифр? Оказывается, для них результат не столь впечатляющий.
Давайте попробуем двузначное число, например 28: 82 — 28 = 54 54 — 45 = 9 90 — 09 = 81 81 — 18 = 63 63 — 36 = 27 72 — 27 = 45 54 — 45 = 9 За короткое время мы убедимся, что все двузначные числа образуют цикл 9→81→63→27→45→9. В отличие от трех- и четырехзначных чисел, здесь нет уникальной фиксированной точки.
А как насчет пятизначных чисел? Есть ли для них уникальная фиксированная точка, такая как 6174 и 495? Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется проделать аналогичную операцию: проверить все 120 комбинаций.
{а, б, в, г, е} Для АБВДЕ так, чтобы были выполнены следующие условия: 9 ≥ а ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0 И abcde - edcba = ABCDE .
К счастью, все необходимые расчеты уже проведены на компьютере и известно, что единственной постоянной точки у функции Капрекара на пятизначных числах не существует. Но все пятизначные числа сводятся к одному из трех циклов: 71973→83952→74943→62964→71973 75933→63954→61974→82962→75933 59994→53955→59994 Как указывает в своей статье Малкольм Лайнс, проверка чисел, состоящих из шести и более цифр, занимает много времени, и работа становится крайне утомительной.
Чтобы уберечь вас от такой участи, в следующей таблице приведены постоянные точки всех чисел от двух до десяти цифр (остальное см.
ниже).
Архив занимательной математики Мэтьюза ).
| Классифицировать | Постоянная точка |
| 2 | Нет |
| 3 | 495 |
| 4 | 6174 |
| 5 | Нет |
| 6 | 549945, 631764 |
| 7 | Нет |
| 8 | 63317664, 97508421 |
| 9 | 554999445, 864197532 |
| 10 | 6333176664, 9753086421, 9975084201 |
Случайно ли это явление или оно имеет более глубокое математическое объяснение? Самое прекрасное и загадочное в том, что это могло быть просто несчастным случаем.
Давайте остановимся и подумаем о красивой головоломке, созданной японским писателем Юкио Ямамото.
Если перемножить два пятизначных числа, то можно получить результат 123456789. Угадайте эти два числа.
Это очень красивая головоломка, и вы можете себе представить, что за ней стоит какая-то большая математическая теория.
Но на самом деле красота его чисто случайна; есть и другие подобные, но не столь красивые примеры: 
(Мы можем дать вам намекать решить эти проблемы, но ответы .
) Если я покажу вам головоломку Ямамото, вам будет интересно ее решить, потому что она красивая, но если я покажу вам вторую головоломку, она может вас вообще не заинтересовать.
Я думаю, что проблема Капрекара аналогична задаче поиска числа Ямамото.
Нам нравятся подобные головоломки, потому что они красивы.
И по той же причине нам кажется, что в них должно быть нечто большее, чем простая случайность.
Подобные недоразумения неоднократно приводили к научным открытиям в математике и науке прошлого.
Достаточно ли знать, что все четырехзначные числа уменьшаются до 6174 в результате действия функции Капрекара, но не знать, почему? До сих пор никто не мог с уверенностью сказать, что единственная неподвижная точка для трех- и четырехзначных чисел — это просто случайное явление.
Это свойство кажется настолько удивительным, что мы могли бы ожидать, что за ним стоит какая-то великая теорема из теории чисел.
Если бы мы могли ответить на этот вопрос, мы могли бы столкнуться с прекрасным недоразумением, но мы надеемся, что это не так.
Теги: #6174 #константа Капрекара #функция Капрекара #математика #теория чисел #красота математики #Занимательные задачи #математика
-
Морфеус Успешно Прошел Испытания
19 Oct, 24 -
Яблочный Пирог
19 Oct, 24 -
Podthings, Выпуск 32
19 Oct, 24 -
Твиттер-Трансляция Russian Techtour 2009
19 Oct, 24
