Теория Счастья. Закон Арбузной Корки И Нормальность Ненормальности

Но в то же время мудрецы говорят, что каждый из нас уникален.

А подростки уверены, что они непременно отличаются от серой массы «нормальных людей» и не похожи ни на кого.

Читатели, знакомые со статистикой, конечно, неоднократно видели, как при различных асимметричных распределениях мода (максимум на графике плотности вероятности) не совпадает со средним значением или математическим ожиданием.

То есть среднее значение не соответствует наибольшей плотности вероятности, но все же ожидается, что оно будет если не наиболее часто встречающимся, то, по крайней мере, доминирующим.

Однако не все так просто.

До сих пор мы рассматривали одномерные распределения — распределения в одномерном пространстве результатов.

Но жизнь многогранна и уж точно не одномерна! А когда вы добавляете дополнительные измерения, могут произойти очень неожиданные вещи.

Одной из особенностей многомерной геометрии является увеличение доли граничных значений в ограниченном объеме.

Вот что это значит. Давайте рассмотрим классическую задачу об арбузе в пространствах разных размеров и поставим перед собой цель узнать, сколько чудесной сахарной мякоти мы получим из этого огромного, крепкого и аппетитного арбуза, если, разрезав его, обнаружим, что толщина его кожура не превышает



от его радиуса? Кажется, что



это слишком много, но посмотрите на картинку в начале статьи, возможно, арбуз с такими пропорциями мы сочли бы вполне приемлемым.

Начнем с одномерного арбуза – это розовый столбик, а его кожура – два маленьких белых кусочка по краям.

Общая длина земной коры – это аналог объема в одномерном мире – будет равна



от общей длины арбуза.

Двумерный арбуз, имеющий форму блина, с кожурой в виде белого кольца, будет всего в три раза меньше по площади, чем его внутренняя часть.

В привычном нам трехмерном мире такая кора будет почти



общий объем.

Это похоже на подвох.

Доли, которые занимает кожура в арбузе разной величины.

Для шара, как и для тела произвольной формы, можно получить зависимость отношения объема коры к общему объему тела.

Выражается через отношение толщины корки к характерным размерам тела.

и является экспоненциальной функцией размерности пространства



:



Вот как выглядит график роста доли пятнадцатипроцентного радиуса арбузной корки в его объеме, при дальнейшем увеличении размерности пространства.

Дело в том, что пространство людей со всеми их параметрами по своей сути многомерно.

Вполне независимыми измерениями можно считать очевидные рост, вес, возраст и достаток, а также уровни интеллектуального (IQ) и эмоционального (EQ) развития и, наконец, наблюдаемые, хотя и плохо формализованные черты лица или черты характера, например уровень болтливости, упрямства или влюбчивости.

Мы легко можем насчитать десяток-полтора параметров, характеризующих человека.

И для каждого из этих параметров существует определенная статистически определенная «норма» — наиболее ожидаемое и притом часто наблюдаемое значение.

Сколько людей в таком богатом пространстве параметров будут типичными во всех отношениях? Выражение, которое мы использовали для расчета соотношения объемов кожуры и арбуза, можно использовать и для расчета вероятности оказаться среди хоть сколько-нибудь «ненормальных» людей.

Действительно, вероятность удовлетворения всем критериям типичности одновременно равна произведению вероятностей типичности для каждого критерия в отдельности.

Сейчас мы значительно упростим задачу, чтобы не писать пугающие формулы, по которым реально невозможно что-либо вычислить.

Предположим, что качества людей в каждом из направлений подчинены нормальное (гауссово) распределение около некоторого среднего значения.

Это, конечно, чрезвычайно смело, но вполне разумно для наших целей, ведь речь идет не о каком-то конкретном наборе характеристик, а, откровенно говоря, фантазируем, пытаясь сформулировать хоть что-то определенное в столь зыбкой теме.

Поэтому нагружаться деталями пока не видна общая картина рано.

Итак, мы подчинили все критерии нормальному распределению со своими средними и дисперсиями.

Это значит, что мы можем определить параметры самого типичного человека в мире и посчитать отклонения от них.

При этом нам не важно, какие конкретные значения дисперсии появятся по каждому критерию, поскольку нас интересует только вероятность выхода за пределы стандартного отклонения, и это значение не зависит от масштаба самого распределения.

Все это приводит к тому, что если обозначить как



вероятность оказаться вне области, ограниченной стандартным отклонением (находиться во внешней «корке» распределения, похожей, скорее, не на арбузную корку, а на атмосферу Земли, уходя далеко в космическое пространство, становясь тоньше и тоньше), то вероятность попасть в нечто ненормальное при осмотре



критериев, будет рассчитываться по «арбузной» формуле:



Для распределения Гаусса



, Где



- среднеквадратичное отклонение.

Вероятности быть «ненормальными» для разного числа критериев сравнения и разной «строгости» определения нормального.

Верхний и нижний графики отличаются тем, что для определения «нормальности» используются радиусы в одно и два стандартных отклонения соответственно.

Что ж, оказывается, быть хоть в чём-то ненормальным — это нормально.

Оценивая людей по десятку параметров, будьте готовы к тому, что всего 2% общей численности населения окажутся совершенно посредственными.

Предположим, что для выполнения некоторой работы необходимо выполнить ряд действий, и для каждого из них существует небольшая вероятность неудачи.

Какова вероятность, что все пройдет гладко? Все просто – нужно умножить вероятности успеха всех шагов.

И тут вступает в действие закон арбузной корки: чем больше ступеней, тем значительнее роль границ, в нашем случае аварийных ситуаций.

Достаточно десятка шагов, чтобы 5%-ная вероятность ошибки на каждом из них выросла до 50%-ной вероятности провала всего дела! То же самое касается сложных систем, состоящих из множества частей, каждая из которых может выйти из строя.

В простейшем случае вероятность отказа системы рассчитывается из вероятности отказа каждой из ее частей по тому же закону арбузной корки.

Наши рассуждения предельно просты, а закон Мерфи скорее эмоционален, чем объективен, и кажется прописной истиной, но все же именно с этого наблюдения началась в сороковых-пятидесятых годах двадцатого века новая большая наука: теория надежности.

Она добавила во внимание время, взаимосвязь элементов системы, экономику, а также человеческий фактор и нашла применение за пределами инженерных наук: в экономике, теории управления и, наконец, в программировании.

Мы вернемся к этой теме, когда будем изучать закон последнего дня , что приводит к сбою принтера в день сдачи проекта.

Закон Мерфи с учетом времени – поистине страшная сила! А пока вернемся к теме уникальности и нормальности.

Однако с математической точки зрения все не так просто.

Сравнить – значит определить отношение порядка .

То есть указать, что один элемент определенного множества в каком-то смысле предшествует другому.

Это мы учили еще в школе: 2 меньше 20, слон слабее кита, договор дороже денег и т. д. Но вот вам ряд вопросов.

Что наступит раньше: понедельник или вторник? А как насчет воскресенья или понедельника? Какое воскресенье предшествует понедельнику или после субботы? Какое число больше: 2+3i или 3+2i? Мы можем назвать цвета радуги по порядку и даже связать все промежуточные цвета с действительным числом — частотой света, но кроме этих цветов существует множество неспектральных цветов, они образуют цветовой круг, хорошо известный типографам и дизайнерам.

Можно ли расположить все видимые глазу цвета по порядку? Эти примеры показывают, что существуют трудности с отношением порядка.

Например, транзитивность не работает во многие дни недели (из-за того, что



должен



, и для



должен



из этого не следует



всегда следует



).

Попытка ввести понятие «больше/меньше» в область комплексных чисел несовместима с арифметикой этих чисел, а цвета обладают обоими этими недостатками.

А как можно сравнивать людей, книги, посуду, языки программирования и другие объекты, имеющие множество параметров, даже условно формализованных? В принципе, это возможно, но только предварительно согласовав определения и метрики, иначе это будет бесконечный, жаркий и бессмысленный спор.

Увы, жаркие споры чаще всего возникают уже на этапе выбора метрик, поскольку они сами по себе образуют некий набор, на котором также необходимо определить отношение порядка.

Однако можно предложить вполне осмысленный и однозначный способ рассуждения о сравнимости многомерных объектов, например, людей.

В многомерном пространстве параметров каждый объект может быть представлен вектором — набором чисел — значений характеризующих его критериев.

Рассматривая ансамбль векторов (например, человеческое общество), мы увидим, что некоторые из них будут сонаправлены или, по крайней мере, близки по направлению, поэтому их уже можно сравнивать по длине.

При этом некоторые векторы будут ортогональны (в геометрическом смысле – перпендикулярны, в более широком смысле – независимы), а соответствующие им люди будут просто непонятны друг другу: по ряду параметров они найдут себя в сопряженных пространствах, как пресловутые физики и лирики.

Нет смысла утверждать, что хороший поэт в чем-то лучше или хуже талантливого инженера или одаренного от природы спортсмена.

Единственное, о чем можно судить, — это длина вектора — степень одаренности, отдаленность от среднего.

В связи с этим может возникнуть интересный вопрос: какая доля случайных векторов в пространстве заданной размерности будет сонаправленной, а какая — ортогональной? Сколько единомышленников вам удастся найти или хотя бы тех, с кем вы сможете себя сравнить? В двумерном мире каждый вектор соответствует одномерному пространству коллинеарных (сонаправленных) и одномерному пространству ортогональных векторов.

Если рассматривать «почти» сонаправленные и «почти» ортогональные векторы, то они образуют сектора одной площади с одинаковым выбором допустимого отклонения.

То есть схожих и непохожих объектов при рассмотрении двух критериев будет одинаковое.

Почти коллинеарные и почти ортогональные векторы в двумерном и трехмерном пространстве.

В трехмерном мире картина изменится.

Сонаправленные векторы еще образуют одномерное пространство, но ортогональные уже заполняют плоскость – двумерное пространство.

Фиксация длины векторов



и допускающее небольшое отклонение от идеальных направлений на угол



, количество почти сонаправленных векторов можно сравнить с площадью круговых областей вокруг полюсов



, а количество почти ортогональных векторов равно площади полосы вокруг экватора:



.

Их отношение



с уменьшением отклонения



растет неограниченно.

В четырехмерном мире ортогональные векторы уже образуют трехмерное пространство, тогда как сонаправленные векторы еще лежат в одномерном пространстве, и разница в их количестве растет пропорционально квадрату отклонения от идеала.

Но на этом этапе лучше обратиться к теории вероятностей и выяснить, каковы шансы получить ортогональные или сонаправленные векторы, взяв наугад два вектора из пространства размерности



? Об этом нам расскажет распределение углов между случайными векторами.

К счастью, когда речь идет о площадях многомерных сфер, ее можно посчитать аналитически и представить в окончательном виде:



Здесь



— это гамма-функция, обобщение факториала на действительные (и даже комплексные) числа.

Распределения углов случайных векторов для пространств различной размерности.

Теперь ясно, что для двумерного пространства углы распределены равномерно, для трехмерного пространства они распределены пропорционально синусоидальной функции, а с увеличением размерности распределение стремится к нормальному со все уменьшающейся дисперсией.

Для всех измерений выше двух мода распределения составляет 90 градусов, и доля взаимно ортогональных векторов увеличивается с увеличением количества параметров.

Самое важное наблюдение состоит в том, что практически не существует сонаправленных векторов (имеющих угол около 0 или 180 градусов при достаточно большой размерности пространства.

Рассмотрим векторы, имеющие угол менее 30 градусов (это очень малая величина).

угол), чтобы быть более или менее похожими (сонаправленными, сопоставимыми):



).

Тогда при сравнении по двум критериям только треть всех случайных векторов будет похожа на какой-то выбранный вектор.

Использование трех критериев позволит вам сравнивать только с заданным вектором.

всего набора, по четырем критериям - уже



, и каждое последующее добавление размерности будет уменьшать эту дробь вдвое.

Если мы будем строже и ограничимся меньшим углом, то доля векторов, считающихся подобными, будет уменьшаться еще быстрее.

Сама математика говорит нам, что в сложном мире людей мы можем говорить только о степени сходства, но не о сравнении.

Так что нет смысла вести бесконечные дебаты в поисках истины; вместо этого следует прислушаться и постараться услышать другое мнение, увидеть взгляд из другого, родственного пространства, тем самым обогащая свое восприятие мира.

Мудрецы правы: мы все уникальны и в своей уникальности мы абсолютно одинаковы.

Приглашаю вас, первых читателей этой книги, к вопросам, дополнениям и комментариям, которые, без сомнения, сделают ее точнее, богаче и интереснее.