Представьте, если бы Земля имела форму куба.
Как же тогда найти кратчайший путь вокруг света? Вы когда-нибудь задумывались, какой была бы жизнь, если бы Земля не была сферой, а имела бы другую форму? Мы считаем само собой разумеющимся плавное прохождение нашей планеты через Солнечную систему и медленные закаты, которыми мы можем наслаждаться благодаря вращательной симметрии Земли.
Кроме того, сферическая Земля позволяет определить самый быстрый способ добраться из точки А в точку Б: просто пройти по кругу, который проходит через эти две точки и разрезает сферу пополам.
Мы используем эти кратчайшие пути, называемые геодезическими, для планирования маршрутов самолетов и расчета орбит спутников.
Но что бы произошло, если бы мы жили на Кубе? Наш мир будет раскачиваться сильнее, горизонты искривятся, и найти кратчайший путь из точки А в точку Б будет труднее.
Возможно, вы не потратите много времени, представляя свою жизнь в кубе, но математики это сделают: они изучают, как наши путешествия будут выглядеть в различных формах.
А недавнее решение Один из фундаментальных вопросов о додекаэдре полностью изменил наш взгляд на объект, который находился перед нашими глазами на протяжении тысячелетий.
Поиск кратчайшего пути туда и обратно (из одной точки обратно в ту же точку вокруг куба) для данного геометрического тела может показаться простой задачей.
В конце концов, вы обязательно вернетесь к тому, с чего начали, верно? На самом деле это зависит от формы или тела, по которому вы идете.
Если это сфера, то да.
(И да, мы опускаем тот факт, что Земля не является идеальной сферой, и ее поверхность не совсем гладкая.
) На сфере прямые пути следуют «большим кругам», геодезическим, например, экватору.
Если вы обогнете экватор, примерно через 25 000 миль вы совершите полный круг и вернетесь туда, откуда начали.
В кубическом мире геодезические линии не так очевидны.
Найти прямой путь на одной грани легко, поскольку каждая грань плоская.
Но если бы вы гуляли по кубическому миру, как бы вы продолжали идти прямо, достигнув края? Есть одна забавная старая математическая задача, которая иллюстрирует ответ на наш вопрос.
Представьте себе муравья в одном из углов куба, который хочет добраться до противоположного угла.
Каков кратчайший путь на поверхности куба из точки А в точку Б? Представьте себе, сколько разных путей может выбрать муравей.
Но какой из них самый короткий? Есть гениальный способ решить проблему.
Давайте сгладим куб! Если бы куб был сделан из бумаги, его можно было бы разрезать по краям и сгладить лист, чтобы получить вот такую развертку.
В таком плоском мире легко найти кратчайший путь от А до Б: достаточно провести между ними прямую линию.
Чтобы увидеть, какой будет геодезическая линия в кубическом мире, просто соберите куб обратно.
Вот наш ярлык.
«Сглаживание» куба работает, потому что каждая грань куба плоская, поэтому ничего не искажается, когда мы поворачиваем тело по краям.
(Попытка «развернуть» сферу таким образом не сработает, поскольку мы не можем сделать сферу плоской, не исказив ее.
) Теперь, когда мы имеем представление о том, как выглядят прямые пути на кубе, давайте вернемся к вопросу, можем ли мы пройти по любому прямому пути и оказаться там, где начали.
В отличие от сферы, на кубе не каждый прямой путь возвращает нас в начало.
Но возможны аналогичные маршруты туда и обратно.
С одной хитростью! Обратите внимание, что муравей может продолжить путь, который мы наметили выше, и вернуться туда, откуда он начал.
На кубе полный круг создает путь, больше похожий на ромб.
Следуя по этому пути (туда и обратно), муравей должен пройти еще одну вершину (точку Б), прежде чем вернуться в исходную точку.
Вот в чем загвоздка: каждый прямой путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, должен проходить через другую вершину куба.
Оказывается, это справедливо для четырех из пяти Платоновых тел.
В кубе, тетраэдре, октаэдре и икосаэдре любой прямой путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, должен проходить через какую-то другую вершину на этом пути.
Математики доказали это пять лет назад, но додекаэдра в их списке не было.
Мы вернемся к этому чуть позже.
Чтобы понять, почему этот факт о геодезических верен для четырех из пяти Платоновых тел, мы воспользуемся методом переворачивания и переключимся на тетраэдрический мир, где это можно продемонстрировать более наглядно.
Представьте, что вы начинаете с вершины тетраэдра и идете по прямой линии вдоль края.
Расположим тетраэдр так, чтобы путь начинался с нижней грани.
Когда мы встречаем ребро, мы переворачиваем тетраэдр так, чтобы наш путь продолжался вдоль ребра, которое заканчивается внизу:
Такие повороты позволяют проследить наш путь так же, как мы это делали бы, разворачивая куб: 
Путь вращения выше представляет собой этот путь на поверхности тетраэдра: 
Пять вращений тетраэдра соответствуют дополнительным пяти граням, пересекаемым нашим маршрутом.
Теперь мы можем представить любой путь на поверхности тетраэдра как путь в этом «вращающемся» пространстве.
Давайте определим нашу отправную точку А и посмотрим, где она окажется через несколько ходов.
Когда наш путь покидает точку А, тетраэдр падает на противоположную сторону.
Это поднимает точку А над землей.
Вершина А временно поднимается в нашем вращающемся мире.
Обычно мы не указываем местоположение точки А при создании вращающегося пространства, но вот где она могла бы появиться, если бы мы смотрели вниз.
По мере продолжения нашего путешествия тетраэдр снова падает. Он может сделать это в одном из двух возможных направлений, но в любом случае А снова окажется внизу.
Когда мы заставим тетраэдр упасть во всех возможных направлениях, мы получим сальто, которое выглядит так: 
В результате получается своеобразная решетка за счет того, что равносторонние треугольные грани тетраэдра совпадают друг с другом.
Эта сетка треугольников рассказывает нам о двух интересных вещах о нашем вращающемся мире.
Во-первых, все точки, в которых могут приземляться вершины тетраэдра, являются «точками решетки» (показаны на схеме) или точками с целочисленными координатами.
Это потому, что одна единица в нашей системе координат равна длине одного ребра тетраэдра.
Во-вторых, посмотрите, где может оказаться А.
Координаты A всегда четные.
Всякий раз, когда А приземляется на дно, она возвращается туда после двух оборотов, поэтому все возможные места приземления для А располагаются с интервалом в две длины ребра в каждом направлении вращения.
Теперь давайте посмотрим, что это говорит о линиях съемки.
Напомним, что путь в тетраэдре, который начинается и заканчивается в точке А, будет отрезком прямой во вращающемся пространстве, начинающимся в точке А (0,0) и заканчивающимся в другой точке А.
И когда начальная и конечная точки пути совпадают в одном А, что произойдет в середине пути? Даже в нашей запутанной системе координат стандартная формула расчета середины отрезка по-прежнему работает, поэтому мы можем найти его координаты по координатам конечных точек.
Поскольку обе координаты начальной точки равны 0, а обе координаты конечной точки четные, координаты средней точки являются целыми числами.
То есть середина будет одной из точек решетки, а, как мы отметили выше, это означает, что она соответствует вершине треугольника во вращающемся пространстве.
Например, путь от (0,0) до (4,2) имеет среднюю точку (2,1), которая является отмеченной точкой решетки в нашей сетке.
Оказывается, на поверхности тетраэдра путь из А и обратно должен проходить через другую вершину.
Поскольку каждая возможная «точка приземления» А имеет четные координаты, середина каждого геодезического пути, начинающегося и заканчивающегося в А, будет соответствовать точке решетки.
Это доказывает, что каждая геодезическая линия от А до А на поверхности тетраэдра должна проходить через другую вершину.
Это просто аргументация была тщательно разработана в 2015 году математиками Дианой Дэвис, Виктором Додсом, Синтией Трауб и Джедом Янгом.
Они использовали аналогичный, но гораздо более сложный метод, чтобы доказать то же самое для куба.
В следующем году Дмитрий Фукс подтвержденный результаты для октаэдра и икосаэдра.
Благодаря этому мы знаем, что для тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра не существует прямых путей, идущих из вершины обратно в себя, которые не проходили бы через другую вершину.
Но вопрос о существовании таких путей на поверхности додекаэдра оставался открытым до 2019 года, когда математики Джаядев Атрея, Дэвид Авликино и Патрик Хупер доказал что это действительно возможно.
Фактически, они нашли бесконечное количество прямых путей на поверхности додекаэдра, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же вершине, не проходя через другие.
Вот один из них, изображенный на додекаэдре, скрывается на виду.
На протяжении тысячелетий Платоновы тела изучались вместе, поскольку у них много общего.
Но теперь мы знаем о додекаэдре кое-что новое, и это явно отличает его от других тел.
Это загадочное открытие показывает, что как бы хорошо мы ни понимали математические объекты, всегда есть чему поучиться.
Важно помнить, что путь от проблемы к ее решению не всегда будет прямым!
Задания
1. Если длина ребра куба равна 1, какова кратчайшая длина пути муравья от одной вершины к противоположной? 2. Объясните, почему диаграмма ниже не может быть траекторией вращения куба.
3. Одна из трудностей «вращения» куба состоит в том, что точка А не имеет уникального конечного положения, связанного с конечным положением куба.
Например, даже если куб при вращении по красному или синему пути окажется в одном и том же месте, точка А окажется в разных положениях.
Определите, где окажется А, повернув по красной и синей дорожкам.
4. Это траектория вращения куба.
Нарисуйте путь на поверхности куба, начиная с точки А.
Ответы
Нажмите, чтобы увидеть ответ 1 Путь — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами длиной 1 и 2.
По теореме Пифагора длина AB равна √5. Нажмите, чтобы увидеть ответ 2 Если эта траектория заставляет куб сначала дважды повернуться вправо, то его наклон составляет не более 1 куба вверх.
После первого сальто вверх высшая точка достигает середины борта, что заставляет нас сделать следующий поворот вправо.
Это дает некоторое представление о том, почему траектории падения куба более сложны, чем траектории тетраэдра.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 3 Будет полезно повторить это с кубиком Рубика или кубиком.
Также обратите внимание, что синий маршрут не может быть путем вращения для указанного пути в кубе.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 4
Теги: #Развлекательные головоломки #паутина времени #геометрия #куб #пути #платоновы тела
-
Поиск В Интернете
19 Oct, 24 -
Настройка Среды Нейросети Mask R-Cnn
19 Oct, 24 -
Иду 2010
19 Oct, 24 -
Разработана Интернет-Платформа Для 3D-Услуг.
19 Oct, 24 -
Дайте Мне Пищу Для Размышлений!
19 Oct, 24
