Содержание
- Что такое тензор и для чего он нужен?
- Векторные и тензорные операции.
Ранги тензоров
- Криволинейные координаты
- Динамика точки в тензорном представлении
- Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
- Кинематика свободного твердого тела.
Природа угловой скорости
- Окончательное вращение твердого тела.
Свойства тензора вращения и как его рассчитать
- О свертках тензора Леви-Чивита
- Вывод тензора угловой скорости через конечные параметры вращения.
Используем голову и Максиму
- Получаем вектор угловой скорости.
Работаем над недостатками
- Ускорение точки тела при свободном движении.
Угловое ускорение твердого тела
- Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
- СКА Максима в задачах преобразования тензорных выражений.
Угловая скорость и ускорение в параметрах Родрига-Гамильтона
- Нестандартное введение в динамику твердого тела
- Движение несвободного твердого тела
- Свойства тензора инерции твердого тела
- Скетч про орех Джанибекова
- Математическое моделирование эффекта Джанибекова
Введение
Я безумно рада, что читателям понравилось предыдущая статья .Сразу оговорюсь – о таком емком понятии, как тензор, просто говорить невозможно – объем информации велик.
Могу обещать, что к концу цикла мозаика будет готова.
И в прошлый раз мы остановились на том, что рассмотрев представление вектора в косом базисе, и определив, что он представлен двумя разными (ковариантными и контравариантными) наборами координат, мы получили общие выражения для скалярного произведения, приняв с учетом изменения метрики пространства.
Таким образом, мы очень внимательно подошли к понятию тензора.
Тензор — математический объект, не меняющийся при изменении системы координат, представленный набором его компонент и правилом преобразования компонент при изменении базиса.Скалярное произведение — это хорошо.
А как насчет других операций? Как они связаны с геометрией пространства и представимы ли они в тензорной форме? Конечно, мы можем себе представить, ведь векторы — это… тензоры! И скаляры тоже являются тензорами.
Знакомые нам математические объекты являются лишь частичными примерами более общего понятия — тензора.
Об этом мы и поговорим под катом.
1. Геометрический смысл метрического тензора
Для наглядности, которая не сильно повлияет на общность рассуждений, ограничимся трехмерным пространством.Докажем следующее утверждение: определитель метрического тензора равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы.
Рис.
1. Соотношения в трехгранном угле, образованном основанием
Рассмотрим произвольный базис
Вычислим объем параллелепипеда, натянутого на основание, как это принято в стереометрии.
Где С - площадь основания параллелепипеда; час - высота, приведённая к данному основанию.
Площадь основания вычисляется тривиально – как модуль векторного произведения
С определением высоты придется повозиться.
Если бы мы знали угол
, то мы могли бы легко найти высоту
Угол
связанные с линейными и двугранными углами трехгранного угла
– первая теорема косинусов для трехгранного угла.
Отсюда выразим косинус двугранного угла
Квадрат синуса нужного нам угла выразим через полученный косинус
Проводим последовательные замены из (6) в (2), не забывая возводить площадь в квадрат С и высота час .
Расчеты довольно громоздки и для их выполнения можно использовать СКА (Maple или Mathematica) и получить квадрат объема параллелепипеда.
Теперь вычислим определитель метрического тензора.
Его называют определителем матрицы, состоящей из компонент тензора.
Выпишем в явном виде скалярные произведения входящих в него базисных векторов:
Вычислив его, получим тот же результат, что и для квадрата объема
Таким образом, утверждение (1) верно.
Соответственно, объем параллелепипеда, натянутого на базис, можно получить, извлекая корень из определителя метрического тензора
Где
Для краткости обозначим значение определителя.
Корень (7) часто встречается в литературе по общей теории относительности и альтернативным теориям гравитации, таким как РТГ.
Эта величина имеет принципиальное значение и пригодится нам чуть позже.
2. Тензорное произведение векторов.
Диада.
Тензорный ранг.
Свертка
Обратим внимание на выражение рок-продукта 
Размер
называется тензорное произведение двух векторов или диада .
Это произведение называется тензором, потому что тензоры перемножаются, и на выходе получается тензор, в данном случае второго ранга,
.
Тензорный ранг — количество его индексов.
Вектор вдруг оказывается тоже тензором, только первого ранга.
Да, это понятно – ведь вектор как геометрическая сущность не зависит от системы координат, в которой он рассматривается.
От выбора системы координат зависят только его составляющие.
Тензор второго ранга (8), естественно, представляется матрицей его компонент
Используя (8), мы можем переписать скалярное произведение в виде
это также тензорное произведение, называемое свертка из-за того, что это приводит к понижению ранга результирующего тензора.
Все индексы в (10) «молчат»; компоненты метрического тензора и диады дважды суммируются по ним, и на выходе получается число с .
Внимательный читатель скажет вам, что на выходе должен быть тензор.
Вот так получается тензор — скаляр, это тоже тензор.
Нулевой ранг, так как он не имеет индексов и не подлежит трансформации при смене базиса.
Скалярное произведение инвариантно относительно смены базиса, поскольку от смены базиса не меняется ни длина входящих в него векторов, ни угол между ними.
Это означает, что скаляр является тензором нулевого ранга.
Но не каждое число является скаляром.
Скаляр — это длина вектора, скалярное произведение векторов, масса материального тела, абсолютная температура и другие величины, не зависящие от системы координат. Компонента вектора больше не является скаляром — она меняется при изменении базиса.
О ранге тензоров и типе компонент мы поговорим чуть позже, а пока перейдем к следующему злободневному вопросу.
3. Векторное произведение.
Тензор Леви-Чивита
Вернемся к нашим векторам и выполним их векторное умножение
При отсутствии других вариантов аккуратно раскрываем скобки, помня о некоммутативности операции
Мы, конечно, хорошо учились в университете и знаем, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулю.
Но мы не будем сильно торопиться упрощать, поскольку помимо этого, несомненно, приятного факта, мы видим еще один — компоненты диады (9).
Но кроме упрощения, связанного с нулевым произведением коллинеарных векторов, ничего другого мы не наблюдаем.
Мы работаем с произвольным базисом в чистом виде.
Давайте воспользуемся хитростью — перемножим вектор
скаляр первого базисного вектора
учитывая сейчас, что работы
Коэффициенты в квадратных скобках представляют собой смешанные произведения векторов.
Если векторы компланарны (лежат в одной плоскости), то это произведение равно нулю.
То есть, если в смешанном произведении повторяется хотя бы один вектор, он равен нулю.
Это значит, что у нас есть только два слагаемых из девяти, в которых векторы не повторяются при смешанном умножении.
Итак, теперь давайте вспомним, что
— ковариантная компонента вектора
.
Ну и, наконец, переставим векторы в векторном произведении первого слагаемого, добавив минус, как и положено по правилу векторного произведения
Аналогично подбираем остальные компоненты
Выражения (11) – (13) очень напоминают формулы расчета проекций векторного произведения из курса векторной алгебры с точностью до множителя со смешанным произведением.
Но мы не работаем на картезианской основе; естественно ожидать некоторой разницы.
Кстати, что это за множитель? Ведь смешанное произведение векторов имеет геометрический смысл.
Это.
объем параллелепипеда, натянутый на участвующие в нем векторы.
А объем параллелепипеда, натянутого на базис, является корнем определителя метрического тензора! То есть
Итак, всплыла метрика используемого пространства.
Таким образом, можно построить некий тензор, свертка исходных векторов с которым дает ковариантный вектор, являющийся результатом векторного произведения.
Более того, этот тензор связан с метрическим тензором.
Этот тензор третьего ранга назван в честь итальянского математика Леви-Чивита.
Нетрудно видеть, что компоненты тензора Леви-Чивита определяются соотношением
Их будет 27, но большая часть из них, а именно 21, равна нулю.
Это те компоненты, индексы которых повторяются хотя бы один раз.
Есть только шесть ненулевых компонентов; они соответствуют неповторяющимся индексам.
Они равны по модулю
, но три из них положительные, остальные три отрицательные.
В формулах (11) – (13) мы переставили векторы и добавили минусы, чтобы сделать коэффициенты при диадах положительными, а сами формулы похожими на те, которые знакомы нам по курсу векторной алгебры.
Теперь вернем все на свои места
Знак смешанного произведения зависит от порядка индексов: в наборах (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) они положительны, в наборах (1,3 ,2), (2,1 ,3) и (3,2,1) отрицательны.
Известно, что если векторы заданы в правой системе координат, то их смешанное произведение будет положительным, если они образуют правую тройку векторов.
Первые члены (16) – (18) содержат правые тройки базисных векторов.
Во вторых слагаемых в смешанном произведении участвуют те же векторы, но взятые как левая тройка.
Как определить, какую тройку образуют базисные векторы? Все очень просто, ведь они упорядочены, им присвоены номера 1, 2, 3. Если мы соблюдаем порядок векторов, то получаем тройку, соответствующую используемой системе координат, то есть (1,2,3) есть правильная тройка.
Что, если мы сначала возьмем вектор 2? Затем по порядку должен следовать вектор 3. Что дальше? И следующий вектор - 1, начинаем все сначала, но не нарушая порядка векторов, то есть (2,3,1) - правая тройка, и (3,1,2) - тоже правая тройка .
На языке комбинаторики базисные векторы в упорядоченной тройке образуют четную перестановку (то есть не нарушающую порядок элементов).
Если порядок следовых векторов в тройке противоположен принятому, то их перестановка будет нечетной.
Таким образом, перестановки (3,2,1), (2,1,3), (1,3,2) нечетные, а тройки векторов левые.
Используя все вышесказанное, введем функцию
и на основании (14) и (19) окончательно выпишем тензор Леви-Чивита
для правильной системы координат
для левой системы координат.
После этого можно записать выражение для векторного произведения в тензорной форме
Таким образом, векторное произведение представляет собой свертку диады с помощью тензора Леви-Чивита, что дает результат ковектор - то есть вектор, определенный ковариантными компонентами.
4. Смешанное (векторно-скалярное) произведение векторов.
Вооружившись полученными знаниями, рассмотрим теперь такую операцию.
Не оперируя векторами, попробуем сразу записать это в тензорной форме.
Во-первых, скалярное произведение коммутативно, поэтому
Теперь помните, что скалярное произведение можно записать как тензорное произведение.
произведение ковектора и вектора
Векторное произведение, основанное на (21), как раз и дает ковектор, а значит
То есть, наконец, смешанное произведение в тензорной форме
где снова задействован тензор Леви-Чивита.
Выражение (22) можно было бы получить, оперируя векторами, снова подойдя к определению тензора Леви-Чивита, но, как видите, рациональнее использовать тензорную запись.
5. Тензорный ранг.
Ковариантные и контравариантные компоненты Итак, в процессе анализа векторных операций мы пришли к выводу, что тензоры — это математические объекты, обобщающие свойства и операции над многими известными нам математическими объектами.
И скаляры, и векторы являются тензорами.
Они различаются рангом и количеством ковариантных и контравариантных компонентов.
Ранг равен общему числу индексов тензора и обозначается парой целых чисел в скобках ( п, д ), Где п — количество контрвариантных индексов, д — количество ковариантных индексов.
Говорят, что тензор п - времена контравариантны и д - раз ковариантный, ранг р+q .
- Тензор ранга (0,0) — это скаляр, величина, значение которой может быть выражено одним числом, причем значение инвариантно при изменении системы координат. Скаляр не имеет индексов и вообще не преобразуется при изменении базиса.
Но, повторим, не всякое число является скаляром.
Например, компонента вектора или тензора не является скаляром, поскольку
-
Птицы И Роботы. Mp3-Плееры/Сувениры
19 Oct, 24 -
Ооп И Все Такое: Тихо, Про Себя
19 Oct, 24 -
Горячая Линия: Разработка Сайтов Под Заказ
19 Oct, 24 -
Может Ли Macbook Стоить 700 Долларов?
19 Oct, 24
