Содержание
- Что такое тензор и для чего он нужен?
- Векторные и тензорные операции.
Ранги тензоров
- Криволинейные координаты
- Динамика точки в тензорном представлении
- Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
- Кинематика свободного твердого тела.
Природа угловой скорости
- Окончательное вращение твердого тела.
Свойства тензора вращения и как его рассчитать
- О свертках тензора Леви-Чивита
- Вывод тензора угловой скорости через конечные параметры вращения.
Используем голову и Максиму
- Получаем вектор угловой скорости.
Работаем над недостатками
- Ускорение точки тела при свободном движении.
Угловое ускорение твердого тела
- Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
- СКА Максима в задачах преобразования тензорных выражений.
Угловая скорость и ускорение в параметрах Родрига-Гамильтона
- Нестандартное введение в динамику твердого тела
- Движение несвободного твердого тела
- Свойства тензора инерции твердого тела
- Скетч про орех Джанибекова
- Математическое моделирование эффекта Джанибекова
Введение
В этой статье мы продолжим начатую тему предыдущая публикация .В прошлый раз с помощью тензоров мы определили природу угловой скорости и получили общие уравнения, позволяющие ее вычислить.
Мы пришли к выводу, что он естественным образом получается из оператора вращения системы координат, связанной с телом.
Что внутри этого оператора? Для случая декартовых координат легко получить матрицы вращения и легко обнаружить их свойства, связав с ними какой-либо метод описания ориентации тела, например, углы Эйлера или Крылова.
Или вектор и конечный угол поворота.
Или кватернион.
Но это для декартовых координат. Когда мы начали говорить о тензорах, мы отказались от декартовых координат. Тензорная запись хороша тем, что она позволяет создавать уравнения для любой удобной системы координат, не зацикливаясь на ее свойствах.
А проблема в том, что, например, для наклонных координат матрицы вращения даже для плоского случая чрезвычайно сложны.
Мне достаточно было проверить их внешний вид на предмет простого вращения в плоскости.
Поэтому цель этой статьи — изучить его свойства, не заглядывая внутрь тензора вращения, и получить тензорное соотношение для его расчета.
И как только задача будет поставлена, мы приступим к ее решению.
1. Свойства тензора вращения системы координат.
Чтобы вернуться к вопросам механики свободного твердого тела, необходимо понять, что такое тензор вращения.Свойства тензора определяются набором его компонент и связью между ними.
Поскольку тензор вращения является тензором второго ранга и его компоненты представлены матрицей, то, без ущерба для общей темы цикла, я буду излагать этот раздел, используя термин «матрица».
Мы будем писать обычное «бессмысленное» обозначение матричного произведения через точку, так как в рамках тензорной алгебры мы имеем дело с комбинацией тензорного произведения со сверткой.
Однако и здесь нужна оговорка — раскритиковав себя за неправильное использование термина «свертка», я упустил тот момент, что под сверткой часто понимают ее сочетание с тензорным умножением.
В этом случае говорят, например: «давайте свернем вектор с помощью тензора Леви-Чивита и получим…», подразумевая именно операцию скалярного произведения.
Итак, давайте рассмотрим основные свойства матрицы вращения
- Преобразование вращения метрического тензора - это тождественное преобразование.
- Определитель матрицы вращения по модулю равен единице
- Матрица обратного преобразования аналогична транспонированной матрице прямого преобразования.
- Если
, то матрица алгебраических дополнений и смежная матрица, построенная из
подобны этому и его транспонированной матрице, а преобразование подобия - это метрический тензор
Следствием этого свойства является равенство следов перечисленных матриц - Если
, то собственные значения матрицы вращения равны единице по модулю и имеют вид
Где - Если
— собственный вектор матрицы вращения, соответствующий комплексному собственному значению, то справедливо соотношение
Следствие: действительная и мнимая части собственного вектора.
, соответствующие комплексному собственному значению, являются ортогональными векторами
Где
.
Эти доказательства не слишком сложны, но для интересующихся предусмотрен следующий спойлер.
Доказательство свойств 1 – 6 для любознательного и дотошного читателя.
Мы доказали свойства 1 и 3 в предыдущая статья .
Свойство 2 можно доказать тривиально из свойства 1, опираясь на свойства определителя матричного произведения
Свойство 4 следует из аналитического метода вычисления обратной матрицы.
, Что
Где
— матрица объединения (транспонированная матрица алгебраических сложений).
Транспонируя (1), используя симметрию метрического тензора, получаем
Где
представляет собой матрицу, состоящую из алгебраических дополнений матрицы вращения.
Отношения (1) и (2) являются отношениями подобия.
Следы подобных матриц одинаковы
Докажем свойство 5. Пусть
— собственное значение матрицы вращения, которому соответствует собственный вектор
.
Затем
Умножаем это выражение на матрицу обратного преобразования слева
с учетом свойства 3
Выполним комплексное сопряжение, учитывая, что матрица вращения и метрический тензор имеют действительные компоненты и их сопряжение сводится к транспонированию
Умножаем последнее выражение справа на
Наконец, мы имеем уравнение
что верно только тогда, когда
то есть
Для расчета собственных значений составим характеристическое уравнение
Вычислив определитель, приходим к общему виду этого уравнения (для матрицы размерности (3 х 3))
Введите обозначение
Факторизуем (4)
откуда мы сразу получаем
Оставшуюся пару корней находим, решив квадратное уравнение
Давайте представим замену
что справедливо, поскольку, предполагая, что корни в общем случае комплексно сопряжены, по теореме Виета имеем
или по абсолютному значению
Потому что
тогда очевидно
Сделав замену, окончательно вычисляем
Доказательство свойства 6 проведем на основе выражения
получается путем доказательства равенства модуля собственного значения единице.
Теперь вместо комплексного сопряжения транспонируем его, учитывая свойства транспонирующей операции умножения матриц
Умножьте полученное выражение на
на правом
Теперь умножим полученное уравнение на комплексно-сопряженное его собственное значение, учитывая, что его модуль равен единице
Наконец мы приходим к уравнению
в которой скобка из-за сложности собственного значения не равна нулю, так как
Тогда это справедливо
Следствие этого свойства доказывается простым умножением
Приравниваем действительную и мнимую части нулю
Из последних уравнений следует желаемая ортогональность и равенство модулей
И
Зачем нам нужно знать о свойствах тензора вращения?
Во-первых, я сформулировал их полностью, чтобы читатель мог увидеть, чем матрица вращения криволинейной системы координат отличается от матрицы вращения декартовой системы.
Почти ничего, свойства этих матриц схожи.
Если в приведенных выражениях положить за единицу матрицу метрического тензора, то мы получим свойство ортогональной матрицы вращения, о котором можно прочитать, например, Д.
Ю.
Погорелова .
Собственно, эта книга подсказала мне, куда копать, чтобы рассмотреть проблему в общем виде.
Во-вторых, и это главное, мы докажем, что собственные векторы и собственные значения этих матриц имеют механический смысл.
Сначала докажем лемму
ПозволятьСвойство 6 уже говорит нам об ортогональности.
— собственный вектор, соответствующий действительному собственному значению тензора вращения, а
- соответствует
, и
.Пусть точно так же – векторы
И
действительная и мнимая часть
.Тогда векторы
,
И
образуют тройку ортогональных векторов
И
.
Давайте теперь докажем, что
По определению собственных векторов
Умножьте (3) слева на
и трансформировать
Учитывая свойство 3, можно сказать, что
Кроме того, непосредственно из (2) следует
Учитывая (6) и (5), преобразуем (4)
Теги: #тензор вращения #тензор угловой скорости #углы Эйлера #теорема конечного вращения #математика
-
Покажи Мне Свои Настройки И Я Скажу Кто Ты
19 Oct, 24 -
Google Global Cache – Для Избранных
19 Oct, 24 -
Ipod Shuffle (3-Го Поколения)
19 Oct, 24 -
Оповещение От Вебмани
19 Oct, 24
