Факторизация Чисел

Хочу представить вашему вниманию один из вариантов алгоритма факторизации составного числа.

Как уже отмечалось [1], существуют закономерности в распределении значений квадратичных остатков как для простых, так и для составных чисел.

Следует привести известную зависимость [2].

Если число А , целое, положительное, равно произведению простых чисел а И б , то всегда найдутся такие два числа с И д , Что с ² –д ² = А или с ² –д ² = нА , Где н целое число от 1 до (А–1) .

В которой, с ² –д ² = (с + d)(c – d) , т.е.

(в+г) И (CD) кратные делителям а И б .

Для упрощения рассмотрим матрицу остатков составного числа А=35 , как и в [1], показано на рис.

1.

1 Матрица остатков составного числа А = 35. Свойства разности квадратов составного числа А привести к некоторым цифрам е , квадратичные остатки числа А , второй столбец (рис.

1), равны полному квадрату меньшего числа А .

Числа в первом столбце (рис.

1), равноудаленные от номера е по значению квадратного корня из е , кратные делителям числа А .

Например, для числа 17 , первый столбец (рис.

1), квадратичный остаток, столбец 2, равен 9 .

Требуется от 9 извлеките квадратный корень и прибавьте его к 17 и забери его у 17 .

Мы получаем, (17 + 3 = 20) , 20 деленное на 4 равно 5 , (17 – 3 = 14) , 14 деленное на 2 равно 7 .

Полученные номера 20 И 14 кратные делителям числа А , из них, используя Алгоритм Евклида[3], всегда можно найти делители числа А .

Аналогичные результаты будут получены и для других чисел, квадратичные остатки которых равны идеальному квадрату.

Для 24 , квадратичный остаток равен 16 , а числа, кратные делителям, равны (24 +4 = 28) И (24 – 4 = 20) .

Следует отметить, что квадратичные остатки (рис.

1), столбец 2, сгруппированы симметрично вокруг середины числового интервала числа А , т.е.

относительно чисел (А+1)/2 И (А – 1)/2 , и всегда иметь четыре повторяющихся значения во всем числовом диапазоне первого столбца.

Для номера А=35 (рис.

1), это значения 1, 4, 9, 11, 16, 29 .

Числа, у которых в каждой половине числового интервала числа А , значения квадратичных остатков совпадают и подтверждают следующие закономерности.

Если складывать и вычитать числа с равными квадратичными остатками друг от друга, мы получим числа, кратные делителям числа.

А , т.е.

а И б .

Для чисел 16 И 9 (рис.

1) квадратичный остаток равен 11 .

Давайте добавим 16 И 9 , мы получаем 25 , разделять 25 на 5 , мы получаем 5 .

От 16 вычесть 9 , мы получаем 7 .

Найденные значения кратны делителям числа А .

Чтобы найти числа с одинаковыми квадратичными остатками, рассмотрим еще одно свойство таблицы (рис.

1).

Относительно середины числового интервала А , то есть числа (А + 1)/2 И (А – 1)/2 , квадратичные остатки (рис.

1), столбец 2, увеличиваются на значение арифметической прогрессии.

Остаток 17 , в квадрате, разделенный на 35 , равно 9 .

Для 16 остаток 11 , Для 15 остаток 15 , Для 14 остаток 21 , Для 13 остаток 29 , Для 12 остаток 4 .

Оказывается 9 + 2 = 11 , 11 + 4 = 15 , 15 + 6 = 21 , 21 + 8 = 29 , 29 + 10 = 39 , деленное на 35 , остаток 4 .

Это характерная зависимость арифметической прогрессии.

Числа в столбце 1, имеющие одинаковые квадратичные остатки, отделены друг от друга суммой членов арифметической прогрессии, равной числу А , умножается на 2н , Где н принимает значения в диапазоне от 1 до (А – 1) .

Сумма членов арифметической прогрессии равна 2нА , не обязательно должен занимать весь диапазон числа А для чисел членов арифметической прогрессии и использовать первый или последний из ее членов.

Это работает следующим образом.

Число А=35 , умножить на 2 , 35 * 2 = 70 , извлеките квадратный корень из 70 , мы получаем 8 И 6 в остатке.

На номер 8 добавлять 1 и умножить на 8 , мы получаем 72 .

Число 72 это восьмая позиция прогрессии и от А умножается на 2 , то есть от 70 оно отличается на 2 единицы измерения.

Число 2 , это первая позиция прогрессии.

Требуется от (А – 1)/2 =17 еда на вынос 8 , мы получаем 9 и из 17 еда на вынос 1 , мы получаем 16 .

Для 9 И 16 , квадратичный остаток (рис.

1) равен 11 .

Дальше, 16 + 9 = 25 , 16 – 9 = 7 .

Получаются два значения, кратные делителям числа А=35 .

Больше примеров Пример 1. 2 в 11-й степени минус 1 равно 2047. 2047 = 23 * 89 Первая попытка.

2047 * 2 = 4094, Квадратный корень из 4094 = 63, остаток 125, 63*64=4032, меньше 4094, 64 * 65 = 4160, 4160 – 4094 = 66, не попадает в значения суммы членов прогрессии.

Вторая попытка.

2047 * 4 = 8188, Квадратный корень из 8188 = 90, остаток 88, 90 * 91 = 8190, 8190 – 8188 = 2, это первый член прогрессии, 2047 – 1 = 2046, 2046 / 2 = 1023, 1023 – 90 = 933, 1023 – 1 = 1022, 1022 + 933 = 1955, 1955/85 = 23, первый делитель, 1022 – 933 = 89, второй делитель.

Пример 2. 216527 = 293 * 739, Первая попытка.

216527 * 2 = 433054, Квадратный корень из 433054 = 658, остаток 90, 658 * 659 = 433622, 433622 – 433054 = 568, не попадает в значения суммы членов прогрессии.

Опустим описание неудачных попыток.

Пятая попытка.

216527 * 10 = 2165270, Квадратный корень из 2165270 = 1471, остаток 1429, 1471 * 1472 = 2165312, 2165312 – 2165270 = 42, это шестой член прогрессии.

216527 – 1 = 216526, 216526 / 2 = 108263, 108263 – 1471 = 106792, 108263 – 6 = 108257, 108257 – 106792 = 1465, 1465/5 = 293, первый делитель.

108257 + 106792 = 215049, 215049/291=739, второй делитель.

Литература.

1. «Симметрия чисел», habrahabr.ru/post/218053 .

2. «Метод факторизации Ферма».

ru.wikipedia.org/wiki/Factorization_Method_Farm 3. «Алгоритм Евклида», ru.wikipedia.org/wiki/Euclidean_Algorithm Теги: #a* #криптография #математика

• Варианты Интеграции Для Microsoft Great Plains – Обзор

  19 Oct, 24

• Как Выбрать Лучших Поставщиков Услуг По Расчету Заработной Платы

  19 Oct, 24

• Пережить Рецессию С Помощью Заработной Платы?

  19 Oct, 24

• «Яндекс» Приобрел По Для Управления Таксопарком «Рос.такси»

  19 Oct, 24

• Австралиец За Два Года Сделал Рабочую Копию Бэтмобиля С Нуля.

  19 Oct, 24

• Облачные Технологии Для Обычного Человека: Социальное Дерево Сингапура

  19 Oct, 24

• Система Хранения Миллиардов Записей С Доступом По Ключам

  19 Oct, 24

• Система Управления Движением Космического Корабля Союз-Тм, Часть 2

  19 Oct, 24

• Обновлена ​​Платформа Тестирования Google.

  19 Oct, 24

• Дайджест Интересных Материалов Для Мобильных Разработчиков №243 (26 Февраля — 4 Марта)

  19 Oct, 24