Могу ли я посещать страны Шенгенской зоны, не показывая пакистанский паспорт[?]
Вероятно, нет. Это зависит от того, в какие страны вы собираетесь. В целом, страны Шенгенской зоны могут потребовать от вас наличия паспорта в дополнение к вашей карте проживания, и во многих из них такое требование действительно существует. С собой необходимо взять паспорт.
...или не заходя в посольство Пакистана?
Да; Вам нет необходимости идти в посольство Пакистана, если только вам не нужно получить новый паспорт.