Определение эффективности игровой системы методами теории вероятностей

Автор: Андрей Смирнов Многочисленные материалы для каперов, размещенные на ресурсах рунета предлагают весьма обширный выбор игровых систем как финансового, так и собственно игрового характера.

Однако мой личный опыт подсказывает, что финансовая стратегия является лишь базисом для эффективной игровой системы, а вот с эффективностью игровых схем действительно проблемы.

Не знаю с чьей подачи бытует мнение, что удачных каперов лишь 1-2 % от всех играющих, но если это так то вполне очевидно, что невозможно стать эффективным игроком, взяв на вооружение общедоступные игровые схемы, так как их знают, очевидно, не менее 90% искателей удачи в БК.

Целью данной статьи является, однако, не обзор популярных игровых стратегий (по моему мнению, большинство из них не выдерживает критики с позиций элементарной логики), а попытка сделать для игрока процесс тестирования игровой схемы более эффективным.

Предварительное же слово приводит нас к мысли, что если ты не законченный неудачник, то стараешься, по меньшей мере, модифицировать игровые схемы, а лучше всего придумать свою, но очень часто уверенность в том, что она не работает, приходит после определенной суммы в минусе.

Хотя сумма в минусе это ничто по сравнению с тем, что у вас была готовая и работающая система, но она не сработала в силу банальной непрухи, и вы отказались от средства разбогатеть, так и не удостоверившись в её эффективности.

В одной из статей посвященной стратегии «Value Batting» я встретил утверждение типа «для того чтобы удостовериться в том, что система действительно работает нужно сделать не меньше пятисот ставок». У вдумчивого читателя возникает вопрос: почему именно 500, а не скажем 346 или 629? Очевидно 500 это личный опыт автора и его авторитетное мнение.

Мы, конечно, не будем оспаривать это число, но представим ситуацию, в которой вам удается путем могучего анализа сделать 6-8 ставок по данной стратегии в неделю и тогда получается, что для того чтобы удостовериться и начать играть, допустим, на футболе вам потребуется примерно 2 года.

Это срок, причем не забывайте, что финансовая стратегия также очень сильно влияет на результат игры.

А два года потраченные на тестирование системы, кто вам их вернет в случае неудачи?

Вообще результат игры с БК это сложная смесь чисто игрового компонента, финансовой стратегии и банальной удачи или неудачи (говоря научным языком – частного проявления закона больших чисел). В таком хитросплетении и закаляется воля капера, его способность делать деньги из этих ингредиентов.

Собственно говоря, философия игры – это тема для отдельного разговора, да и авторитет нужен автору, чтобы его стали слушать в таких вопросах.

Так что пока сконцентрируемся на предмете этой статьи, тем более что он также не безынтересен.

Итак, перед нами стоит задача узнать, эффективна ли наша игровая стратегия, за как можно меньшее число ставок.

Любой человек, кто обладает интеллектом способным понять принцип действия электрочайника и сыгравший хотя бы 100 ставок понимает и то, что любой полученный результат мог образоваться за счет случайного совпадения.

Можно как Лола ворваться в казино со 100 марками, а унести 100 000 и при этом решить, что игра в казино дело очень доходное.

Можно и 10 раз подряд поставить на черное, но ни разу не выиграть и решить, что в казино выигрыш просто невозможен.

Здесь нам и помогает количество ставок, так как закон больших чисел может проявиться только когда чисел достаточно много.

Именно потому, что Лола сделала всего 2 ставки, мы не верим, что в казино легко выиграть, и именно потому, что всего лишь после 10 ставок мы не выиграли, мы не верим в то, что выиграть вообще невозможно.

Собственно говоря, вероятности событий в приведенных примерах одинаковы - число ставок разное.

Интуитивно мы чувствуем, что редко, но могут случаться настолько невероятные события, поэтому делать выводы еще рановато.

Рулетка в принципе очень похожа на игру с БК, только казино берет маржу в 2,7%, а букмекер в 8-10%, но результаты также во многом определяются случаем.

Здесь пытливый читатель скажет *зачем он все так разжевывает, быстрее к делу или ему больше нечего сказать* и я извинюсь.

Наверное, сказывается привычка преподавателя давать материал, предварительно разжевав его до безобразно удобоваримой кондиции, но это лишь привычка, ибо обижать читателей сравнением со студентами мне хочется в последнюю очередь.

В любом случае дорогу осилит идущий, и я уже достаточно написал, чтобы те, кто не в состоянии усвоить дальнейший материал сплюнули и продолжили заниматься делом.

Для тех же, кто еще со мной я продолжу.

Итак, предельно конкретно сформулируем задачу: дать оценку игровой и финансовой стратегии с учетом возможных случайных факторов, для того чтобы с определенной вероятностью сделать вывод о том, прибыльна или убыточна наша игра в бесконечной перспективе.

А также: какова вероятность того, что схема (игровая стратегия или ее сочетание с финансовой стратегией) все-таки окажется прибыльной или убыточной, невзирая на имеющийся к моменту проверки результат.

Выше я ввел понятие игровой схемы и сделаю лишь паузу на пояснении его сути в свете поставленной задачи.

Уже было сказано о том, что результат игры это многофакторная функция и подчас разделить компоненты не удается.

С другой стороны сам процесс ставок, как финансовая деятельность всегда предполагает использование какой либо финансовой стратегии, так как ставим мы деньги реально или виртуально.

То есть не существует игровой стратегии, которая могла бы реализоваться без какой либо финансовой стратегии, а значит, для проверки чисто игровой стратегии мы должны выбрать финансовую стратегию, не влияющую на конечный результат.

Назовем такую стратегию единичной, а состоять она будет в том, что мы делаем все ставки равными по сумме, допустим по 1 денежной единице.

Наверно не требует доказательств то, что именно при такой стратегии полного равенства ставок размер собственно ставок не окажет никакого влияния на результат игры, а, значит, мы сможем проверить чистую игровую стратегию.

Второй альтернативой является использование какой либо иной финансовой стратегии, при которой хотя бы несколько ставок отличаются по сумме.

В этом случае наша проверка коснется эффективности сразу игровой схемы, как сочетания финансовой и игровой стратегий и даст такие же результаты.

Только в силу причин, которые будут описаны ниже, для той же точности потребуется большее число ставок, чем при единичной стратегии.

Проверка же эффективности чисто финансовой стратегии это вопрос более сложный.

Это можно реализовать сравнением схем с использованием одной игровой и альтернативных финансовых стратегий.

Такой подход теоретически возможен, но на практике ставит в тупик выбором между надежностью стратегии и величиной прибыли в альтернативных вариантах.

С другой стороны, чем прибыльнее (убыточнее) финансовая стратегия по сравнению с единичной, тем больше нужно аналитических ставок, чтобы эту прибыльность подтвердить.

В любом случае разработка и применение эффективных финансовых стратегий требует ситуационного подхода с основанием на игровой стратегии, чему, возможно, я посвящу отдельную статью.

До сих пор я не слышал о человеке, который бы разбогател только на финансовой стратегии.

«А догоны и догонялы?» спросите вы и будете правы, но тот, кто реально заработал на догонах, сейчас не читает эту муть, а пьет молоко прямо из кокоса под пальмой на Гавайях… Вот мы собственно и подошли к математике или специальному её разделу – теории вероятностей.

Скажу честно – даже не собираюсь освежать у вас в памяти, что это за наука, а сразу перейду к проверке единичной стратегии.

Тем более, что книжка по предмету валяется где-то у вас в квартире, ну а если не у вас так у соседа (соседки), а если сосед (соседка) еще и собой о-го-го, радуйтесь поводу зайти.

Для начала математически определим выигрыш или проигрыш в результате конкретной ставки.

Это можно сделать по формуле: где, Р – финансовый результат ставки СС – сумма ставки (для единичной стратегии можно принять равным 1 и опустить) КВ – коэффициент выигрыша.

Он принимается равным коэффициенту БК, а в случае возврата равным единице.

РС – результат события.

1 – в случае если событие, на которое ставим, произошло или был возврат, 0 – в случае проигрыша, кода событие не произошло.

Очевидно, что по этой формуле мы будем определять только чистую прибыль от игры, в случае выигрыша сумма буде равна сумме выплаты превышающей ставку, в случае возврата – нулю, в случае проигрыша – минус сумма ставки.

По результатам игры имеем N ставок, для каждой из которых рассчитывается результат Р. Понятно, что сумма всех Р даст нам итоговую прибыль (убыток) после N ставок.

Еще раз напомню, что для оценки стратегии все эти N ставок, должны быть сделаны именно по проверяемой стратегии.

При этом если мы опустим суммы ставок, то будем проверять чисто игровую стратегию, если включим в расчет Р суммы - сочетание игровой и финансовой стратегий.

Обозначим Рi – результат i-той из числа N ставок.

Тогда мерой эффективности нашей системы может служить средняя величина выигрыша для одной ставки (Рср), которая определяется простым средним арифметическим от Р: Понятно, что если итоговая сумма выигрыша окажется положительной, то и Рср также будет больше нуля.

Давайте рассмотрим ситуацию, при которой Рср оказалась положительной, а число ставок довольно большим и мы считаем, что система представляется надежной.

Очевидно также, что результат каждой ставки случаен, а, значит, результирующая средняя величина выигрыша также случайна.

Согласно закону больших чисел с увеличением N выборочное среднее неограниченно приближается к истинному среднему, и именно в большом количестве ставок мы на практике черпаем уверенность в надежности системы.

С другой стороны, чем больше будет Рср превышать нуль, тем доходнее нам представляется система и тем меньше вероятность того, что на самом деле она окажется убыточной.

Остановимся на выборочном (основанном на результатах сделанных ставок) и генеральном (существующем в бесконечном множестве всех уже сделанных и предстоящих ставок) значениях Рср.

Их отличия друг от друга обусловлены случайным характером результатов в тестовой выборке и неизбежно существует некая погрешность или ошибка, отделяющая эти значения.

Как уже отмечалось выше, именно закон больших чисел позволяет нам с ростом числа тестовых ставок обретать уверенность в эффективности системы, что в теории называется уменьшением погрешности при оценке генеральных оценок по выборочным.

Так как эта погрешность есть величина случайная, складывающаяся из случайных результатов N предыдущих ставок то распределена она будет по нормальному закону.

Последнее утверждение не моё личное мнение, а часть методики проверки сходства выборочных и генеральных оценок, применяемой в теории вероятностей.

Действительно как бы ни была распределена случайная величина, нам абсолютно не нужно знать закона ее распределения, для того чтобы быть уверенными в том, что отклонение выборочного и генерального среднего будет распределено нормально.

Это факт доказанный теорией (центральная предельная теорема) и практикой и здесь я совсем не хочу цитировать построения из учебников по теории вероятностей.

Для определения того насколько сильно может в нашем случае отличаться выборочное среднее от генерального (то есть, какова вероятность того, что система эффективна, или неэффективна) нам достаточно знать с какой вероятностью ошибка определения среднего не превысит заданной величины.

Например, если нами получено Рср равное 0,05, то в случае если вероятность ошибки превышающей 0,05 меньше 10%, то на 95% мы можем быть уверены в том, что истинное среднее не окажется меньше нуля, а, следовательно, система будет давать прибыль.

Здесь нужно остановиться на 95% ведь 1-10%= 90%, почему же мы уверены на 95%? Дело в том, что ошибка относительно среднего имеет симметричный характер, то есть с одинаковой вероятностью может быть положительной и отрицательной, но так как превышение генерального среднего над 0,05+0,05=0,1 не ставит под сомнение эффективность системы, мы будем рассматривать только ошибку, направленную к нулю, которая может проявиться с половиной исходной вероятности.

С ростом числа тестовых ставок, мат ожидание ошибки будет нулевым (вспомним закон больших чисел), а, следовательно, для определения её (ошибки) вероятности нужно знать еще дисперсию значений ошибок.

Наука предлагает оценивать эту величину (а точнее среднеквадратичное отклонение возможной ошибки) по формуле: где, d?ош – среднеквадратичное отклонение отклонения генерального и выборочного среднего.

- дисперсия тестового массива выигрышей Рi N – число ставок.

Чтобы читателю не пришлось искать формулу расчета дисперсии, приведу её, адаптировав для наших условий, тем более что для нашего случая лучше воспользоваться несмещенной оценкой, которая определяется так:

Закончив предварительные расчеты, можем непосредственно перейти к определению доверительного интервала для Рср генеральной совокупности.

Сначала выберем приемлемый для нас уровень доверия или вероятности того, что система работает.

После этого границы данного интервала определяем по формуле:

где, Рср(min) – нижняя граница доверительного интервала для Рср в генеральной совокупности (в формуле генеральные оценки отмечены точкой вверху).

Рср(max) – верхняя граница доверительного интервала для Рср в генеральной совокупности.

tр – величина определяющая для нормального закона сколько среднеквадратичных отклонений нужно отложить влево и вправо от центра рассеивания чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна B.

Значения tр распределены таблично и ниже я приведу фрагмент, таблицы их распределения, ну а величина вероятности B это и есть выбранный нами уровень доверия.

Перейдем теперь к таблице распределения tр.

B	tр	B	tр
0,80	1,282	0,95	1,960
0,85	1,439	0,97	2,169
0,88	1,554	0,98	2,325
0,90	1,643	0,99	2,576
0,92	1,750	0,999	3,29

Не забывайте также, что нас интересует только минимальная граница интервала, поэтому если вы хотите убедиться в эффективности системы не меньше чем на 90% то выбирайте в таблице доверительную вероятность вдвое больше удаленную от единицы (то есть tр для B=80%, или 1,282) и ищите минимальную границу доверительного интервала.

Если она окажется не ниже нуля, то вероятность эффективности системы превышает 90%, если же нижняя граница ниже нуля, вероятность эффективности не превышает 90%. В случае выхода нижней границы доверительного интервала за нулевой уровень можете отметить, какова будет величина предельного с заданной вероятностью проигрыша в случае убыточности системы.

Если вы внимательно следили за ходом определения доверительного интервала то несомненно заметили, что фактором сужающим его границы при неизменной доверительной вероятности является среднеквадратичное отклонение ошибок.

Эта величина же снижается при увеличении числа ставок в тесте и с уменьшением дисперсии результатов ставок (чтобы в этом убедиться достаточно взглянуть на формулу расчета ?ош). При единичной финансовой стратегии величина дисперсии результатов ставок будет зависеть только от результатов событий и размеров коэффициентов, по которым делаются ставки, при использовании же других стратегий на величину дисперсии будет также оказывать влияние и сумма ставки, как определяющая наряду с прочими факторами сумму выигрыша (проигрыша). Нет нужды доказывать, что любая финансовая стратегия, увеличивающая вариацию результатов ставок, увеличит дисперсию ошибок и расширит доверительный интервал, а, следовательно, уменьшит вероятность безубыточности при тестировании.

С другой стороны, если использование финансовой стратегии позволяет существенно увеличить доходность (размер Рср), то запаса прочности или удаленности Рср от нуля может вполне хватить для удачного прохождения теста с нужной вероятностью.

В конце приведу небольшой пример, так сказать из жизни.

Имеется выборка из 84 ставок.

Все ставки были сделаны по единичной финансовой стратегии и неизменной игровой стратегии.

В результате мы имеем Рср = 0,0896 и дисперсию результатов D(Pi) = 0,4608. Рассчитаем теперь Delta ош = Корень квадратный (0,4608 / 84) = 0,074. Теперь выберем доверительную вероятность B= 90% и найдем по таблице значение tр соответствующее 1-(1- B)*2 = 80% вероятности (tр = 1,282). Определяем нижнюю границу доверительного интервала Рср(min) = 0,0896 – 1,282 • 0,074 = -0,0053. Это означает, что тестируемые данные не могут подтвердить с 90% вероятностью безубыточность применяемой стратегии, но с другой стороны это означает, что если мы продолжим играть по ней, то вероятность потерять больше чем 0,53% от оборота ниже 10%. С другой стороны уже здесь становится понятно, что выбери мы доверительную вероятность не 90, а, скажем, 80% система прошла бы тест.

На самом деле нет смысла снижать необходимую вероятность, если есть эффективный способ сократить доверительный интервал, увеличив число ставок.

И в нашем случае случилось так же. Была проведена еще одна серия из 28 ставок, и система прошла тестирование при 112 испытаниях.

Вы можете легко убедиться в этом, подставив в наши данные N = 112. Конечно, на самом деле после дополнительных ставок изменилась Рср и дисперсия результатов, однако эти изменения оказались достаточно незначительными, и пересчитывать все еще раз с новыми данными я не вижу смысла.

Теперь поговорим о применимости описанной системы.

Я бы не рекомендовал тестировать с её помощью те стратегии в неизменности, которых вы не уверены.

Это, прежде всего, относится к интуитивным ставкам, которые делаются не по какому-либо алгоритму, а на основании знания и интуиции.

Нет, я совсем не против интуитивного подхода к игре ведь интуиция это знания помноженные на опыт, просто опытный капер, полагающийся на интуицию сделал достаточно ставок, чтобы убедиться в своей силе, и назвать эти ставки системой не сможет даже он. Также не советую тестировать бесплатные рассылки, перед тем как начать ими пользоваться, если вы не уверены что автор (авторы) и в дальнейшем будут использовать ту же стратегию игры, а также в том, что они использовали одну и ту же стратегию до этого.

Лучше всего эта система позволит оценить ваши собственные стратегии, в постоянстве которых вы уверены.

В принципе в тестовую выборку одной системы можно включать и её незначительные модификации.

Я заметил довольно интересную тенденцию появления и исчезновения бесплатных рассылок.

Почти всегда автор выражает уверенность в своих силах, затем предлагает всем желающим присоединиться, а после энного количества ставок и минус ццатого результата рассылка умирает.

Не понимаю, неужели перед началом этого предприятия нельзя убедиться в прибыльности стратегии хотя бы на 70 – 80%, и не морочить людям и себе голову.

Хотя с другой стороны удачные бесплатные рассылки, довольно быстро переходят в платные, опять же без подтверждения своей состоятельности не только итоговым банком, но и теорией вероятности.

P.S. Как и большинство людей, автор не лишен честолюбия и надеется, что когда-нибудь, описанная система обретет имя собственное и выступит в роли своеобразного стандарта оценки надежности игровых стратегий.