- 03, May 2023
- #1
Для того чтобы найти синус угла между диагоналями четырехугольника, необходимо найти сначала косинус угла между ними, а затем применить формулу синуса.
Найдем сначала косинус угла между диагоналями.
Для этого найдем скалярное произведение векторов, соответствующих диагоналям:
$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2-(-1)\-2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\-3\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix}-2-3\-1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-4\end{pmatrix}$
Тогда скалярное произведение:
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD} = (3\cdot(-5)) + ((-3)\cdot(-4)) = -3$
Длины диагоналей:
$AC = \sqrt{(2-(-1))^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{30}$
$BD = \sqrt{((-2)-3)^2 + ((-1)-3)^2} = \sqrt{40}$
Теперь найдем косинус угла между диагоналями, используя формулу:
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}}{|AC|\cdot |BD|} = \frac{ -3}{\sqrt{30}\sqrt{40}} = -\frac{3}{4\sqrt{30}}$
Наконец, используем формулу синуса, чтобы найти синус угла:
$\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\frac{9}{16\cdot 30}} = \sqrt{\frac{191}{480}}$
Таким образом, синус угла между диагоналями четырехугольника АВСД равен $\sqrt{\frac{191}{480}}$.
Для этого найдем скалярное произведение векторов, соответствующих диагоналям:
$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2-(-1)\-2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\-3\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix}-2-3\-1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-4\end{pmatrix}$
Тогда скалярное произведение:
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD} = (3\cdot(-5)) + ((-3)\cdot(-4)) = -3$
Длины диагоналей:
$AC = \sqrt{(2-(-1))^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{30}$
$BD = \sqrt{((-2)-3)^2 + ((-1)-3)^2} = \sqrt{40}$
Теперь найдем косинус угла между диагоналями, используя формулу:
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}}{|AC|\cdot |BD|} = \frac{ -3}{\sqrt{30}\sqrt{40}} = -\frac{3}{4\sqrt{30}}$
Наконец, используем формулу синуса, чтобы найти синус угла:
$\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\frac{9}{16\cdot 30}} = \sqrt{\frac{191}{480}}$
Таким образом, синус угла между диагоналями четырехугольника АВСД равен $\sqrt{\frac{191}{480}}$.
![[ищу] Материал Или Курсы Для Поднятия Группы Vk В Топ (и Seo-оптимизация В Vk)](/assets/images/icons/forum3.png){kind=icon}
![[Андрей Ушков] Как получать помощь от подсознания. Реально ли это](/assets/images/icons/forum1.png){kind=icon}
