Как может выглядеть график, скажем, линейной функции реального аргумента? ж ( Икс ) = Икс + с , с – константа, если операция сложения определена иначе, чем обычно? Каким будет множество решений уравнения Икс + с = д с неизвестным Икс в этом случае? (Оговоримся: на протяжении всей заметки автор будет опускать детали строгих математических определений, чтобы не затенять простой смысл материала.
) Не знаю, как бы к вам отнеслись столетия назад, если бы вы предположили, что для «специальных целей должно быть 2+2=5», но в наше время n-арная алгебраическая операция определяется на множестве М как отображение, которое связывает упорядоченный n элемент М элемент того же самого М , и эта свобода спасает вас от тяжелых последствий.
Для удобства групповые операции можно назвать умножением или сложением.
И то, и другое не обязательно должно совпадать с действиями, известными из школы.
Скажем так умножение для свободной группы с двумя образующими произойдет объединение двух слов определенного типа в одно и последующее сокращение пар определенного типа.
Теперь нет необходимости пытаться понять предыдущее предложение.
Важно понимать: математика уже давно позволяет называть сложением (умножением) нечто иное.
Таким образом, + в выражении 2 + 2 = 5 можно назвать сложением и это будет алгебраическая операция.
Мы не даем здесь определения неклассической арифметики.
На самом деле сделать это непросто.
Некоторые вещи иногда лучше вообще не определять, по крайней мере на некоторых этапах: Б.
Мандельброт в одной из своих книг ясно указал на полезность воздержания от определения фрактала.
В рамках нашей заметки операция + я в выражении а + я б = с мы будем называть сложением неклассическую арифметику, если оно относится хотя бы к одной паре чисел а , б дает результаты с , отличающийся от результата школьной арифметики.
Модульная арифметика соответствует критерию, но мы не будем называть ее неклассической.
То же самое относится и к другой арифметике, уже давно ставшей «классической».
Помимо сложения, неклассическая арифметика может содержать вычитание, умножение, деление и т. д., понимаемые в указанном смысле.
Перейдем к разнообразию.
Это слово очень похоже на «разнообразие».
От любителя математических объектов, как это называется, нам нужно остановиться лишь на алгебраические многообразия как множества решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами.
Если в этих системах уравнения снабжены неклассической арифметикой, возможно, более чем одной, и, возможно, в ней присутствует классическая арифметика, то это система уравнений разнообразия, а множество ее решений есть многообразие.
Но мы будем называть это набором значений функции ж разнообразие и постоянство значений ж , поскольку и уравнения, и функции имеют кое-что общее — графики.
Теперь повторим вопрос из начала заметки: «Как могут выглядеть графики функций разнообразияЭ» А мы отвечаем: «Например, такие как здесь: https://youtu.be/Bu8CYo7D_Yg «Неклассическая арифметика функций — это ДР+ (от англ.
«разнообразие вещественных чисел»), арифметика неотрицательных действительных чисел.
Уже набор графиков всего двадцати одной функции демонстрирует сильное отличие от функций классической арифметики.
Может случиться так, что элементарные средства неклассической арифметики (а не только их элементарные функции и уравнения) позволят просто решать задачи, доступные только сложным инструментам классической арифметики.
Собственно, мы только что сформулировали обоснование развития неклассической арифметики и теории многообразия.
Примечание: некоторые графики отличаются друг от друга, как один тип кошек отличается от другого; последние отличаются, как кошки от рыб; другие — как птицы от кошек и рыб; и т. д. Это косвенно свидетельствует о богатстве разнообразия внутри одной только арифметики, богатство форм указывает на богатство возможных функциональных зависимостей, математических моделей и приложений вообще.
Назовем арифметику богатой, если она позволяет построить либо бесконечное семейство попарно неэквивалентных функций, либо очень большой конечный набор их.
Данное требование вытекает из предыдущего пункта.
Это разумно.
Есть ли богатая арифметика? Определение алгебраической операции и функции делает запрет существования маловероятным.
Поэтому бесполезность неклассической арифметики и разновидностей – это скорее сказка, чем реальность.
Теги: #Популярная наука #математика #неклассическая арифметика #арифметика DR+ #разновидности #новые идеи в математике #новые идеи в науке #многообразия #функция разнообразия
-
Метод Организации Каталогов И Файлов Проекта
19 Oct, 24 -
Наука О Данных — Это Пузырь?
19 Oct, 24
