Это эпохальное доказательство в области информатики также решило важную проблему, известную как гипотеза Конна о гнездах.
Сейчас математики работают над тем, чтобы понять это.
Ваш браузер не поддерживает видео HTML5. Всегда ли есть способ аппроксимировать бесконечное количество фотонов в луче света конечным набором чисел? Представьте себе, что на Землю прилетели инопланетяне и дали нам правильные ответы на самые важные вопросы: существует ли Бог? Это правда Гипотеза Римана ? Вы действовали? Освальд по себе? Мы были бы признательны за информацию, но для нас было бы мало пользы, если бы мы не знали, как они получили эти ответы.
Именно в такой ситуации оказались сегодня математики.
В январе команда специалистов по информатике опубликовано масштабирование доказательство который называется один из важнейших результатов в этом столетии в этой области.
Однако доказательство вышло далеко за рамки информатики.
Следуя длинной цепочке последствий, это также решило важную открытую проблему в математике.
Математики изучают операторная алгебра , с которыми связана описываемая задача, подобны тем землянам, которым знания свалились на голову.
Информатика сказала им, что гипотеза, которая их волновала, ложна.
Однако, чтобы сделать что-нибудь полезное с этой информацией, им нужно найти способ перевести доказательства на понятный им язык.
«Если бы больше людей в сообществе операторной алгебры обратили на это внимание за последние пару лет, все сообщество было бы ближе к пониманию результата», — сказал он.
Верн Полсен , математик из Университета Ватерлоо в Канаде.
«Нам предстоит многое наверстать».
Гипотеза
Упомянутая проблема - это гипотеза Конна о гнездовании, предложенная в 1976 году.Аллен Конн из Института передовых научных исследований во Франции.
Оно связано с некоторыми числовыми объектами, появляющимися в математике квантовой механики.
Сначала рассмотрим упрощенную версию.
Представьте себе мяч, подброшенный в воздух.
Чтобы определить его положение по пространственным осям x, y и z, нужны три числа.
Подставив эти числа в уравнения, вы сможете смоделировать его траекторию.
Отлично.
Теперь представьте, что вам нужно математически описать луч света.
Это квантовомеханическая система, которую математики и физики описывают, подставляя в уравнения квадратные массивы чисел.
Эти массивы или матрицы играют роль чисел в примере с шаром: они содержат всю информацию, необходимую для описания местоположения светового луча.
Однако если для описания шара достаточно всего трех чисел, то матрицы, описывающие луч света, огромны: они содержат бесконечное количество строк и столбцов чисел.
Почему? Потому что луч света на самом деле представляет собой поток фотонов.
К этой проблеме можно подойти, создав модель поведения отдельных фотонов.
Луч света от одного фотона можно описать матрицей 2x2, числа которой представляют собой «угол вибрации» фотона — измерение, примерно соответствующее направлению его движения.
Луч света с вдвое большим количеством фотонов требует матрицы 4x4. Трем фотонам понадобится матрица 8х8. Четыре – 16х16 и так далее; количество строк и столбцов будет удваиваться после каждого добавления фотона.
Итак, когда мы доберемся до полного луча света, матрица какого размера нам понадобится для его описания? И это зависит от количества фотонов, содержащихся в луче, — а квантовая механика в определенном смысле рассматривает луч света в виде волны, содержащей их неограниченное количество.
«Представьте себе луч как бесконечный поток», — сказал Полсен.
Тогда для описания луча понадобится матрица с бесконечным числом строк и столбцов.
Математик и эрудит Джон фон Нейман начал исследования бесконечномерных матриц, возникающих в квантово-механических системах, в 1930-х годах.
Четыре десятилетия спустя на основе его работ Конн сделал что-то свое.
Он предложил систематический способ рассмотрения бесконечномерных матриц, описывающих такие системы, как поток фотонов, предполагая, что их можно методично конструировать из меньших матриц конечного размера.
Математик Алан Конн придумал точный способ аппроксимации бесконечномерных матриц, но он не всегда работает.
Вы можете представить это таким образом.
Допустим, у вас есть плоская карта поверхности Земли и вы хотите узнать температуру в любой ее точке.
Вы можете посмотреть показания термометра в каждой из бесконечного количества точек на карте.
А затем вы можете пометить эти показания, создав матрицу с бесконечным количеством строк и столбцов.
Однако это трудоемкая задача.
Попробуйте более грубое приближение: разделите карту на четыре четверти и вычислите среднюю температуру в каждой из них.
Такую информацию можно представить в виде матрицы 2x2. Допустим, вы хотите улучшить свои результаты.
Разделите каждую четверть на четверти.
Теперь у вас есть 16 участков.
Рассчитайте среднюю температуру в каждом из них и представьте эту информацию в виде матрицы 4х4. Вы можете продолжать делать это, разделяя кварталы на кварталы и представляя среднюю температуру в полученных кварталах, до тех пор, пока количество строк и столбцов в матрицах продолжает расти – но остается конечным.
Тогда для каждой конечномерной матрицы можно задаться вопросом: насколько хорошо она аппроксимирует температурные показатели в бесконечномерной матрице? Допустим, мы можем надеяться, что в матрице 2х2 средняя температура квартала не будет отличаться от реальной температуры в любой из ее точек более чем на 10%.
Матрица 4x4 будет немного более точной, и можно надеяться получить немного большую точность, возможно, в пределах 9% от фактической температуры в каждой точке.
Гипотеза Конна о гнездовании говорит о чем-то похожем.
Но речь идет не о температуре на карте, а о матрицах, описывающих квантово-механические системы — например, луч света.
Конн предсказал, что если вы знаете поведение системы в упрощенном случае — в случае матрицы 2x2 — это всегда позволит вам аппроксимировать поведение всей системы в пределах определенной ошибки.
И эта ошибка уменьшается по мере роста матрицы.
Добавляя фотоны и увеличивая размер матрицы, вы приближаетесь все ближе и ближе к бесконечномерной матрице, которая фактически описывает то, что происходит в луче света.
Доказательство лжи
Однако новый результат, полученный учеными-компьютерщиками, опровергает гипотезу Конна о вложенности.Это означает, что хотя приближение работает для некоторых бесконечномерных матриц, описывающих квантово-механические системы, оно работает не для всех из них.
«Его гипотеза предсказывала, что для того, чтобы описать всю систему с определенной ошибкой, достаточно иметь определенную информацию о каждой подсистеме», — написал нам Полсен в электронном письме.
«И теперь мы знаем, что это неправда».
Неудача гипотезы Конна о гнездовании имеет несколько последствий для математики.
Первый описан выше — не все бесконечномерные матрицы хорошо аппроксимируются конечномерными.
Во-вторых, должны существовать семейства бесконечномерных матриц, о которых математики ничего не знают. Конн предсказал, что все семейства бесконечномерных матриц могут быть хорошо аппроксимированы конечномерными матрицами, и до сих пор это так и было.
Новое доказательство предполагает, что это приближение не всегда работает, но оно не говорит нам о конкретных семействах матриц, для которых оно не работает. Так что теперь математикам нужно отправиться на поиск тех матриц, для которых это не работает. Волны расходятся в другую сторону.
Несколько других гипотез были связаны с гипотезой Конна о гнездовании.
Если бы это оказалось правдой, как предполагали многие математики, то и другие гипотезы оказались бы верными.
Но поскольку это неверно, остальные гипотезы остаются в неопределенности.
И до сих пор математики их игнорировали.
«Этот факт удерживает людей от работы над этими проблемами.
И теперь все вернулось на круги своя», — сказал Полсен.
Однако прежде чем математики смогут заняться каким-либо из этих выводов, им необходимо понять результат, полученный в области информатики.
И это будет непросто.
Новое доказательство представляет собой обширную 165-страничную статью, над которой работали уже несколько лет и которая тесно переплетена с теорией вычислений, а не с операторной алгеброй.
Она, как мы уже писали, перекликается с ранней теорией вычислений Алана Тьюринга, а также связана с квантовой запутанностью и веселыми соревнованиями, называемыми нелокальными играми.
Почти все это мало известно математикам.
«Если вы не следили за развитием событий в этой области за последние два года», — сказал Полсен, то вы будете удивлены тем, что эти методы решают матричную проблему Конна.
Сейчас математики пытаются прочитать эту работу самостоятельно.
Те, кто это понимает, организуют семинары, обучая других.
Пять ученых-компьютерщиков, написавших ее, также планируют прочитать лекции, объясняющие свою работу математическому сообществу.
Со временем математики смогут переварить результат и найти способы переписать его на языке своей области знаний.
Однако человеческая цивилизация не сможет быстро адаптироваться к полученной от инопланетян информации – и математики тоже не смогут. «Это займет некоторое время», — сказал Полсен.
Теги: #Популярная наука #математика #физика #фотоны #матрицы #квантовая механика #гипотеза вложенности Конна #операторная алгебра
-
Что Это Значит?
19 Oct, 24 -
Путеводитель По Devops С Express 42
19 Oct, 24 -
«Эксперт» Расписался В Любви К Деньгам
19 Oct, 24 -
Распознавание Образов И Научные Знания
19 Oct, 24
