В прикладной математике иногда возникает задача построения периодических решений нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида 
где находится функция 
представляет собой сумму 
многомерный полином 
и тригонометрический полином 
, который 
-периодическая векторная функция.
Многие теоремы существования периодических решений системы (1) используют тот фундаментальный факт, что такие решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига вдоль траекторий системы.
Однако использовать эти теоремы для непосредственного нахождения искомого периодического решения, скорее всего, невозможно.
Известно, что система (1) имеет единственную
-периодическое решение 
.
Примерами систем, имеющих единственное периодическое решение, являются системы со сходимостью (Плисс В.
А.
Нелокальные задачи теории колебаний.
- М.
, Л.
: Наука, 1964).
Рассмотрим один класс таких систем, для которых можно построить приближения к решению
.
Позволять 
— вектор, который 
Здесь для простоты рассуждений мы предполагаем, что начальный момент времени равен нулю.
Тогда, если мы сможем определить вектор
, то мы сможем построить искомое периодическое решение.
Введем условия, налагаемые на функцию 
:
1. Пусть 
- закрытый шар радиуса р , содержащий значения решения
, 
- закрытый шар радиуса р , и 
, и есть такое положительное число 
, что для любого 
существует неравенство 
2. Есть такое положительное число 
это для всех 
и любой 
неравенство имеет место 
На рис.
1 представлена графическая иллюстрация этих условий для системы (1) второго порядка.
Рис.
1. Иллюстрация условий 1–2 для системы второго порядка.
В моя работа показано, что в этом случае последовательные приближения 
для любого вектора 
сходятся одинаково для всех
к какой-то функции 
.
Более того, если вы выберете 
, тогда получается, что 
На основе формулы (2) каждая итерация рассчитывается в символьной форме.
Более того, после преобразования тригонометрических функций под интеграл всегда можно получить тригонометрический полином с нулевым средним целым значением.
Аналитическая форма представления приближения периодического решения удобна тем, что позволяет анализировать гармоники, составляющие это приближение.
После расчета следующей итерации строится функция 
минимум из которых даст приближение к вектору
.
В качестве примера рассмотрена нелинейная система второго порядка со сходимостью вида (1) (значения радиусов шаров указаны в работе), где 
.
Было обнаружено, что на первой и второй итерациях значения найденных приближений вектора
одинаковы, и 
Проверено, что траектория исследуемой системы второго порядка, соответствующая найденной начальной точке, через некоторое время возвращается в ее окрестность (рис.
2).
Рис.
2. Дуга траектории, соответствующая найденному вектору
.
По этой теме вы можете посмотреть мой отчет на математической конференции (извиняюсь за качество видео - снято на телефон).
Теги: #дифференциальные уравнения #периодические решения #метод последовательных приближений #символьные вычисления #аттрактор #математика
-
Кто Проводит Teamlead Conf И Почему?
19 Oct, 24 -
Не Злите Инженеров
19 Oct, 24 -
Подкаст Appleinsider [03]
19 Oct, 24 -
Google Maps Api: Теперь За Деньги
19 Oct, 24 -
Исправление Плагина Jgrowl В Ie 7
19 Oct, 24
