Содержание
- Что такое тензор и для чего он нужен?
- Векторные и тензорные операции.
Ранги тензоров
- Криволинейные координаты
- Динамика точки в тензорном представлении
- Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
- Кинематика свободного твердого тела.
Природа угловой скорости
- Окончательное вращение твердого тела.
Свойства тензора вращения и как его рассчитать
- О свертках тензора Леви-Чивита
- Вывод тензора угловой скорости через конечные параметры вращения.
Используем голову и Максиму
- Получаем вектор угловой скорости.
Работаем над недостатками
- Ускорение точки тела при свободном движении.
Угловое ускорение твердого тела
- Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
- СКА Максима в задачах преобразования тензорных выражений.
Угловая скорость и ускорение в параметрах Родрига-Гамильтона
- Нестандартное введение в динамику твердого тела
- Движение несвободного твердого тела
- Свойства тензора инерции твердого тела
- Скетч про орех Джанибекова
- Математическое моделирование эффекта Джанибекова
Это один из наиболее сложных разделов динамики, и задача интегрирования уравнения сферического движения для произвольного случая распределения массы тела до сих пор не решена.
В этой статье мы начнем рассматривать динамику твердого тела с помощью аппарата тензорной алгебры.
Эта пилотная статья по динамике ответит на ряд принципиальных вопросов, касающихся, например, такого важного понятия, как центр масс тела.
Что такое центр масс, что отличает его от других точек тела, почему уравнения движения тела составляют преимущественно относительно этой точки? Ответ на эти и некоторые другие вопросы — под катом.
Интегрирование уравнений движения этой детской игрушки — одна из до сих пор нерешённых задач механики.
1. Принцип Даламбера, старый как мир 
Для начала рассмотрим движение материальной точки.
Основное уравнение динамики точки следует непосредственно из аксиом
ускорение, умноженное на массу, представляет собой векторную сумму сил, приложенных к точке.
И надо подробнее поговорить о силах, которые приложены к точке.
В разделе механики, называемом аналитической механикой, силы, действующие на точки механической системы, подлежат строгой классификации.
Силы с правой стороны (1) разделены на две группы.
- Активные силы .
Этой группе сил можно дать следующее определение
Активные силы — это силы, величину которых можно определить из условий задачи.
На формальном языке активная сила определяется векторной функцией
Где
— обобщенная координата точки;
— обобщенная скорость точки.Из этого выражения понятно, что начав решать задачу о движении и имея начальные условия (время, положение и скорость), можно сразу вычислить действующую силу.
Сила тяжести, упругость, кулоновская сила взаимодействия заряда с электрическим полем, сила Ампера и сила Лоренца, сила вязкого трения и аэродинамическое сопротивление — все это примеры активных сил.
Выражения для их расчета известны и эти силы можно вычислить, зная положение и скорость точки.
- Реакции на ссылки .
Самые неприятные силы, которые только можно придумать.
Напомню одну из аксиом статики, называемую аксиомой связей.
Приложенные к телу связи можно отбросить, заменив их действие силой или системой сил.
Точка, показанная на рисунке, не является свободной точкой.Его движение ограничено связью, условно представленной в виде некоторой поверхности, внутри которой расположена траектория движения.
Приведенная выше аксиома позволяет удалить поверхность, приложив к точке силу.
, действие которого эквивалентно наличию поверхности.Причем эта сила заранее не известна — ее величина удовлетворяет ограничениям на положение, скорость и ускорение, налагаемым соединением, и, конечно, вектор реакции зависит от приложенных активных сил.
Реакции связей подлежат определению в процессе решения задачи.
К реакциям связи относится и сухое трение, наличие которого даже в простой задаче существенно усложняет процесс ее решения.
Где
— равнодействующая действующих сил, приложенных к точке;
— результат реакции, наложенной на точку связи.
Теперь проделаем самый простой трюк – перенесем ускорение с массой в другую часть уравнения (2)
и введем обозначения
Тогда уравнение (2) принимает вид
Сила, представленная вектором (3), называется сила инерции д'Аламбер.
А уравнение (4) выражает принцип Даламбера для материальной точки
Материальная точка находится в равновесии под действием приложенных к ней активных сил, реакций реакции и сил инерции.Простите, о каком равновесии может идти речь, если точка движется с ускорением? Но уравнение (4) — это уравнение равновесия, и, приложив к точке силу (3), мы можем заменить движение точки ее равновесием.
Достаточно широко ведутся споры о том, являются ли силы инерции (3) физическими силами.
В инженерной практике используется понятие центробежной силы, представляющей собой силу инерции, связанную с центростремительным (или осевым) ускорением, искривляющим траекторию точки.
Мое личное мнение таково, что силы инерции — это продемонстрированный выше математический трюк, позволяющий перейти к рассмотрению равновесия вместо ускоренного движения.
Сила инерции (3) определяется ускорением точки, но она, в свою очередь, определяется действием на точку приложенных к ней сил, а в соответствии с аксиоматикой Ньютона сила первична.
Поэтому ни о какой «физичности» сил инерции говорить не приходится.
Природа не знает действующих сил, зависящих от ускорения.
2. Принцип Даламбера для твердого тела.
Главный вектор и главный момент сил инерции 
Теперь распространим уравнение (4) на случай движения твердого тела.
В механике ее рассматривают как неизменяемую механическую систему, состоящую из множества точек, расстояние между которыми в каждый момент времени остается неизменным.
Все точки тела движутся по разным траекториям, но уравнение движения каждой точки соответствует (2)
Силы, действующие на конкретную точку, можно разделить на внешние активные.
, реакции внешних связей
и внутренние силы
, представляющий силы взаимодействия рассматриваемой точки с другими точками тела (по сути, внутренние реакции).
Все указанные силы являются равнодействующими соответствующей группы сил, приложенных к точке.
Применим к этому уравнению принцип Даламбера
Где
— сила инерции, приложенная к данной точке тела.
Теперь, когда все точки тела находятся в равновесии, мы можем воспользоваться условием равновесия твердого тела, которое дает нам статика.
Твердое тело находится в равновесии под действием приложенной к нему системы сил, если главный вектор и главный момент этой системы сил относительно выбранного центра О равны нулю.Главный вектор системы сил представляет собой векторную сумму всех сил, приложенных к телу.
Сумма сил, приложенных к каждой точке тела, определяется последним уравнением, поэтому, сложив уравнения для всех точек, в левой части получим главный вектор
В этом случае сумма внутренних сил равна нулю, как следствие третьего закона Ньютона.
Аналогично вычисляем сумму моментов всех сил относительно выбранного произвольного центра О, что дает нам главный момент системы сил, равный нулю
При этом, как показано в классическом курсе динамики, сумма моментов внутренних сил, приложенных к системе материальных точек, равна нулю, т.е.
.
Уравнения (5) и (6) уже выражают принцип Даламбера применительно к твердому телу, но только с одной необходимой поправкой.
Число активных сил и реакций связи в уравнениях (5) и (6) конечно.
Большинство слагаемых в соответствующих суммах равны нулю, поскольку активные внешние силы и реакции внешних связей, вообще говоря, приложены лишь в некоторых точках тела.
Чего нельзя сказать о силах инерции – силы инерции действуют на каждый точка тела.
То есть сумма сил инерции и сумма их моментов относительно выбранного центра являются целыми суммами.
Систему сил инерции обычно сводят к главному вектору и главному моменту, и можно написать, что
главный вектор и главный момент сил инерции, приложенных к твердому телу.
Интегралы (7) и (8) берутся по всему объему тела, а
— радиус-вектор точки тела относительно выбранного центра O.
Исходя из этого соображения, можно переписать (5) и (6) в их окончательном виде
Уравнения (10) и (11) выражают принцип Даламбера для твердого тела
Твердое тело находится в равновесии под действием приложенных к нему внешних сил, реакций связи, главного вектора и главного момента сил инерции.По сути, (10) и (11) представляют собой форму записи дифференциальных уравнений движения твердого тела.
Они довольно часто используются в инженерной практике, однако с механической точки зрения такая форма записи уравнений движения не самая удобная.
Ведь интегралы (7) и (8) можно вычислить в общем виде и прийти к более удобным уравнениям движения.
В связи с этим (10) и (11) следует рассматривать как теоретическую основу построения аналитической механики.
3. На сцену выходят центр масс и тензор инерции Вернемся к нашим тензорам и воспользуемся ими для вычисления интегралов (7) и (8) для общего случая движения твердого тела.
Выберем точку в качестве центра приведения О 1 .
Эту точку выбирают в качестве полюса и в ней определяют локальный базис системы координат, связанной с телом.
В одна из предыдущих статей мы определили тензорное соотношение для ускорения точки тела при таком движении
Умножив (12) на массу точки со знаком минус, получим силу инерции, приложенную к объемному элементу твердого тела
Выражение (13) представляет собой ковариантное представление вектора силы инерции.
Перепишем двойное векторное произведение в (12) в более удобном виде, используя тензор Леви-Чивита и псевдовекторы угловой скорости и углового ускорения
Подставим (14) в (13) и возьмем тройной интеграл по всему объему тела, учитывая, что угловая скорость и угловое ускорение одинаковы в каждой точке этого объема, то есть их можно вынести знака интеграла
Интеграл в первом слагаемом – это масса тела.
Интеграл во втором члене — более интересная вещь.
Напомним одну из формул курса теоретической механики:
Где
— контравариантные компоненты радиус-вектора центра масс рассматриваемого тела.
Не вдаваясь в смысл понятия центра масс, просто заменим интегралы в (15) в соответствии с формулой (16), учитывая, что во втором слагаемом (15) используются ковариантные составляющие.
Ага, выражение (17) нам тоже знакомо, представим его в более привычном векторном виде
Первое слагаемое в (18) – это сила инерции, связанная с поступательным движением тела вместе с шестом.
Второе слагаемое — центробежная сила инерции, связанная с положительным ускорением центра масс тела при его движении вокруг полюса.
Третий член — вращательная составляющая главного вектора сил инерции, связанная с ускорением вращения центра масс вокруг полюса.
В целом все соответствует классическим теоретическим соотношениям.
Пытливый читатель скажет: «зачем использовать тензоры для получения этого выражения, если в векторном виде оно было бы получено столь же очевидным способомЭ» В ответ скажу, что получение формул (17) и (18) было разминкой.
Теперь мы получим выражение для главного момента сил инерции относительно выбранного полюса, и здесь тензорный подход проявляется во всей красе.
Возьмем уравнение (13) и умножим его векторно слева на радиус-вектор точки тела относительно полюса.
Таким образом, получаем момент силы инерции, приложенной к элементарному объему тела
Снова подставим (14) в (19), но не будем торопиться брать интеграл
Не знаю, как у вас, а у меня глаза ослепляют, хоть я и привык к таким формулам.
Члены расположены в более естественном порядке – вращательная и центробежная составляющие поменяны местами.
При этом сложность преобразовательных вычислений возрастает от первого члена ко второму.
Будем упрощать их поочередно, сначала упростим первый, сразу взяв интеграл
Здесь снова появляется радиус-вектор центра масс.
Здесь нет ничего сложного – ускорение полюса у нас одно и мы его вынесли из знака интеграла.
С интерпретацией мы разберемся чуть позже, а пока преобразуем второе слагаемое (20).
В нем мы можем выполнить свертку произведения тензоров Леви-Чивита по индексу молчания к
Здесь мы воспользовались свойством дельты Кронекера заменять индекс свободного вектора/ковектора при выполнении свертки.
Теперь возьмем интеграл, учитывая, что угловое ускорение постоянно для всего объема тела.
Ух ты! Малоизвестный «крокодил» сжался в компактную формулу посредством формальных тензорных преобразований.
Вру, мы ввели новое обозначение:
Но это не просто абстрактная формула.
Структура выражения (24) показывает, что оно отражает распределение массы тела вокруг полюса и называется – тензор инерции твердого тела .
Эта величина действительно имеет фундаментальное значение для механики, и мы поговорим о ней подробнее, пока скажу только, что (24) — тензор второго ранга, компонентами которого являются осевой и центробежный моменты инерции.
тела в выбранной системе координат. Он характеризует инерцию твердого тела при вращении.
Также обращаю внимание читателя на то, как быстро мы получили выражение для тензора инерции, по существу действующего формально.
С векторными связями не сломаешь мозг, в этом я убедился на личном опыте.
И, наконец, обратимся к последнему члену (20).
При взятии интеграла также должен получиться тензор инерции, и мы преобразуем его таким образом, чтобы достичь этой цели.
В эту часть выражения (20) должна входить связь между тензором инерции и угловой скоростью тела.
Начнем со сложения произведения тензоров Леви-Чивита.
Происходит существенное упрощение выражения – за счет свойств дельты Кронекера и того, что векторное произведение
.
Но тензор инерции в (25) не виден.
Для его получения проведем ряд эквивалентных преобразований
Здесь мы еще раз учтем, что
, использовали свойства дельты Кронекера и оператора
Теги: #принцип Даламбера #сила инерции #фундаментальная теорема статики #главный вектор #главный момент #тензор инерции #центр масс #математика
-
Гербарт, Иоганн Фридрих
19 Oct, 24 -
Бескомпромиссная Замена 60-Ваттной Лампочке
19 Oct, 24 -
Полиморфизм И Указатели На Функции
19 Oct, 24
