Звездное небо напоминает нам, что точки — это фундаментальная абстракция, основа окружающего пространства.
Оглавление 1. Симплексы и графы 2. Определение ди- и бикоординат. 3. Скалярное произведение пар 4. Графовое пространство 5. Трансформация базы 6. Количество звезд 
Введение
Это первая статья из серии, посвященной описанию свойств космических баз на основе элементов (а не векторов).Базис определяет систему координат – описание элементов пространства в виде набора чисел, характеризующих положение элемента относительно базиса.
Если пространство метрическое, то базис задает метрические тензоры , позволяющий определять расстояния между элементами пространства по их координатам.
Метрика базиса может быть задана либо через значения скалярных произведений, либо через значения связей между элементами базиса.
Следовательно, базис можно определить как в обычном геометрическом пространстве, так и в двойственном пространстве.
график .
В геометрическом пространстве элементами основы будут вершины симплекс .
В графе — узлы графа.
План и содержание сериала
В первой статье мы продемонстрируем взаимность симплекса и графа.Определим взаимные метрические тензоры — грамиан и лапласиан базиса.
Свяжем их с параметрами графов и симплексов.
Давайте покажем роль космические нормали .
В секунду Определим систему координат на основе точечной основы.
Объект характеризуют два типа взаимных координат — би- и дикоординаты.
В полном базисе координаты позволяют определять расстояния между элементами вне базисного пространства.
В третьей статье Давайте разберемся в полезном понятии — скалярном произведении упорядоченных пар, которое является обобщением векторной нормы — квадрата расстояния между элементами пространства.
Далее мы обращаемся для графического пространства.
Решаем задачу Дирихле.
Покажем, как понятие фундаментальной матрицы связано с определением расстояний между элементами вне пространства подграфов.
В 5-я часть Рассмотрим преобразование координат при изменении базиса.
Преобразования точечных баз используются, например, в задачах локализации датчиков (определения их координат).
Наконец, в заключение Рассмотрим основу простейшей структуры – звездного графа.
Мы используем его для описания пространства натуральных чисел, которые можно разложить на произведение простой .
Идти!
Матрица расстояний
Пусть у нас есть набор, состоящий из н элементы.Элементами могут быть геометрическая точка в пространстве, узел графа, буква, слово, документ, человек и т. д. — практически любой объект. Предположим, что известно степень близости установить элементы.
Для точек пространства степень близости равна квадрат расстояния между ними.
В физике меру близости двух событий называют интервал .
Иногда вместо квадрата расстояния используют термин "квадрант" , но так как мы его используем редко, то будем чаще использовать более благозвучный термин "расстояние" .
Квадрат расстояния между элементами 
И 
мы обозначим его как: 
.
Если мы говорим о расстояниях между элементами множества, то скаляр превращается в матрицу: 
, строчные индексы обозначают множество.
Кортеж расстояний от данного элемента множества до остальных состоит из набора скалярных расстояний: 
Набор независимых точек с известными расстояниями между ними определяет симплекс .
В двумерном пространстве симплекс определяется 3 вершинами (треугольник), в трехмерном пространстве — 4 (тетраэдр) и т. д. — размерность симплекса на 1 меньше числа его вершин.
Вершины независимы, если объем симплекса не равен нулю.
Расстояния между вершинами симплекса определяются выражением матрица расстояний 
.
На рисунке изображен прямоугольный треугольник (2-мерный симплекс) с катетами 3, 4 и гипотенузой 5. Его матрица расстояний имеет вид: 
Для электрическая цепь Расстояние сопротивления равно эффективному сопротивлению между узлами сети.
А поскольку любая электрическая сеть представляет собой граф, то матрица расстояний в теории графов называется матрицей резистивных расстояний ( Матрица расстояний сопротивления ).
Итак, концепция расстояния универсальный – может использоваться как для обычного геометрического пространства, так и для пространства графов.
Это также означает, что каждому невырожденному симплексу соответствует определенный граф и наоборот.
Граничные матрицы
В вершинах симплекса (или графа) можно определить базис пространства.Но для задачи метрики нам нужно определить метрический тензор.
Матрица расстояний не подходит на роль метрического тензора хотя бы потому, что ее определитель не связан с объемом симплекса (в примере — с площадью треугольника).
Однако еще в XIX веке А.
Кейли (Кейли) обнаружил, что если мы граничим матрицу расстояний с набором единиц, то определитель результирующей матрицы будет пропорциональна квадрату объема симплекса.
Матрица расстояний, ограниченная единицами, называется Матрица Кэли-Менгера .
Давайте определим граничную операцию 
симметричные матрицы 
кортеж 
и скаляр 
: 
Если матрица 
это окантовка матрицы
, Что
это подматрица
и называется мажорный (угловой) минор
.
Об использовании индексов Верхнее и/или нижнее положение индексов рядом с тензором определяет тип тензора.
Если тензоры 1-го ранга отличаются только положением индексов ( 
И 
, например), то они образуют взаимную пару.
По правилам произведения тензоров скалярное произведение (свертка, результат — скаляр) — это два одинаковых индекса на разных высотах ( 
), скалярное произведение (результат — кортеж) — одинаковые индексы на одной высоте ( 
или 
), внешний продукт (результат — матрица, диада) — два разных индекса ( 
или 
).
Заглавная буква в индексе измерения означает, что речь идет о фиксированном значении в этом измерении — элементе ( 
— значение кортежа 
элемент
).
Если природа объекта ясна из контекста, индексы в обозначениях будем опускать.
Метрический тензор расстояния (DMT) - базис Грамиана
Математики (Дж.К.
Гауэр) также заметили, что удобнее оперировать не самими расстояниями между элементами, а отрицательными полурасстояниями.
.
Это объясняется тем, что отрицательные полурасстояния отражают скалярное произведение элементов, как следует из раскрытия формулы квадрата расстояния (расстояния) между элементами: 
Отсюда получаем соотношение матрицы расстояний
и скалярные матрицы произведений 
: 
Здесь 
— нормы элементов, диагональ матрицы скалярных произведений.
В тензорной форме: 
Не менее важна и обратная формула — она позволяет получить матрицу расстояний на основе Грамиана: 
Добавим к множеству обычных элементов пространства необычный.
А именно, вектор нормали пространства 
.
Обычное пространство это ортогональное дополнение в пространство элементов.
Скалярное произведение нормали на элементы обычного пространства равно единице, а на себя — нулю.
Нормаль ортогональна всем векторам в пространстве, поэтому ее еще называют компенсатор .
Совокупность элементов, содержащих нормаль пространства, будем называть главный (полный), чтобы отличить его от множества, в котором нет нормального.
Первым в наборе мы поставим нормальный.
Теперь мы готовы определить метрический тензор.
Метрический тензор расстояний 
представляет собой набор скалярных произведений между элементами основного набора: 
Матрицы скалярных произведений (векторов) называются Матрицы Грамма .
Для скалярных произведений элементов мы будем использовать один и тот же термин, сокращенно – Грамиан.
Таким образом, тензор метрики расстояний является грамианом мажорного базиса.
Для нашего симплекса из трех вершин (прямоугольного треугольника) тензор метрики расстояний будет иметь вид: 
Обратите внимание, что размерность тензора расстояний в два раза больше размерности обычного векторного тензора при описании пространства той же размерности.
То есть этот тензор содержит больше информации.
Для грамианов мы будем использовать индексы: 
Геометрические свойства ДМТ
Определитель метрического тензораотносительно объема симплекса
.
Точная формула: 
Где 
- размерность пространства, определяемого симплексом 
пики
Давайте посчитаем площадь нашего треугольника.
У нас есть 
.
Затем 
, где 
.
Конечно, эту площадь можно было бы получить, просто перемножив длины ног.
.
Еще одна полезная характеристика, содержащаяся в ДМТ, — это значение нормы ортогонального центра базиса.
С точки зрения геометрии эта норма равна квадрату радиуса описанной сферы вокруг вершин симплекса.
То есть ортогональный центр можно интерпретировать как 
-мерная сфера.
Ортогональный центр указывает важные характеристики базиса; мы будем обозначать его как 
.
Ортоцентр – элемент пространства с нормой 
.
Эту норму можно найти как соотношение определителей углового минора и мажора грамианов основы: 
В нашем треугольнике норма основания будет равна: 
.
Метрический тензор Лапласа (LMT) - базис Лапласа
Для метрического тензора всегда существует обратный, который еще называют обратным.
Инверсию метрического тензора расстояния мы называем лапласиан метрический тензор 
- ЛМТ.
Тензорное соединение: 
, Где 
является единичной матрицей.
Почему метрический тензор обратного расстояния стал лапласиан ? Поскольку ее главный угловой минор (подматрица) равен лапласиан 
.
Та же матрица, которая описывает узлы и связи в графе, ее еще называют Матрица Кирхгофа .
Можно сказать, что формула (1.8) связывает свойства симплексов и графов.
Каждому лапласиану соответствует грамиан, и наоборот. Эта взаимность позволяет сравнивать геометрические характеристики симплексов с параметры графика .
Метрический тензор Лапласа обозначается верхними индексами: 
.
Структура ЛМТ
Метрический тензор Лапласа — это главный лапласиан, окантовка обычного (младшего) лапласиана.
Граница отражает параметры базисного ортоцентра (1.7): 
Скаляр
- норма ортоцентра (в терминах графа, обратной геометрической связи), 
— барицентрические координаты ортоцентр.
Барицентрические координаты масса координаты элемента относительно базы (ориентиров) – вершин симплекса или графа.
Сумма весов равна единице — условие нормировки барицентрических компонент. Барицентрические координаты ортоцентра произвольного прямоугольного треугольника всегда одинаковы.
И равный 
.
Это означает, что центр О уравновешивается равными массами элементов Б И С .
Вообще говоря, для любого графа, представляющего собой цепочку последовательно соединенных звеньев, координаты ортоцентра будут отличаться от нуля только в крайних узлах и равны 1/2. 
Второстепенные личности
Разлагая умножение метрических тензоров (1.8) по правилам произведения блочных матриц,
получаем 4 основных тождества.
Сумма составляющих барицентрических координат ортоцентра равна 1: 
Сумма значений строк (и столбцов) лапласиана равна 0. Это означает, что строки лапласиана представляют собой барицентрические координаты определенных векторов: 
:
Свойство равноудаленности базовых вершин (симплекса или графа) от ортоцентра: 
Наконец, связь между малым грамианом и лапласианом: 
Матрицы вида 
, Где 
- некий барицентрический вектор, называемый матрицей передачи .
Их можно использовать, например, для передачи происхождения определенного набора данных.
в точку, определяемую барицентрическими координатами
.
Матричные данные проекторы .
Построение матрицы расстояний с помощью лапласиана Если мы имеем дело с графом, то для построения матрицы расстояний на основе матрицы смежности 
можно использовать следующий алгоритм.
Для матрицы смежности построим лапласиан: 
Здесь 
— преобразование кортежа в диагональную матрицу.
Определитель лапласиана равен нулю, поэтому его нельзя просто обратить.
Из него необходимо либо удалить какой-то узел, либо дополнить его (ограничить) каким-нибудь вектором.
Ограничим лапласиан вектором единиц и инвертируем полученную матрицу.
Главным минором (подматрицей) результата инверсии будет матрица Грина.
.
— количество вершин базиса.
Матрица Грина представляет собой Грамиан — матрицу скалярных произведений векторов, направленных от центра координат (здесь это центроид базиса) к элементам.
Для получения матрицы расстояний из Грамиана следует использовать формулу (1.3.1).
Позволять 
, Где
- центр.
Тогда формула (1.3.1) примет следующий вид: 
Лапласова геометрия
Сравним геометрические параметры симплекса с характеристиками лапласиана.
Симплексный объем и потенциал Лапласа
Теорема о матричном дереве связывает количество остовных деревьев графа с определителем младшего лапласиана.
В предыдущие статьи эта величина называлась скалярный потенциал лапласиан 
: 
Здесь через 
назначенный псевдодетерминант , то есть определитель минора лапласиана (поскольку лапласиан сам по себе является сингулярной матрицей).
— размерность пространства, на единицу меньше числа элементов основы.
Мы видим, что чем меньше число остовных деревьев графа (чем проще его структура), тем больше объем соответствующего симплекса.
Ээлементы лапласиана
Лапласиан можно рассматривать и как характеристику симплекса, и как параметры связей между узлами графа.В терминах графов значения лапласиана — это величина связей между узлами (с обратным знаком), а на диагонали — общая сумма связей узлов.
Тип лапласиана для нашего примера: 
Здесь проводимость (вес соединения) между узлами А И Б равно 16/144, между узлами А И С 9/144 и между узлами Б И С связи нет вообще.
Теперь выясним геометрический смысл элементов лапласиана.
Каждой вершине симплекса можно поставить в соответствие соответствующую противоположную грань.
Под противоположной мы понимаем грань симплекса, не касающуюся данного узла.
Очевидно, что в общем случае такая грань многомерна.
В нашем треугольнике это сторона (отрезок), противоположная вершине.
В тетраэдре есть треугольник.
Опустив перпендикуляр из данной вершины на противоположную грань, получим высота вершины симплекса.
Произведение высоты вершины 
в область противоположного лица 
дает объем симплекса
, умноженный на размерность его пространства
: 
Элементы лапласиана симплекса можно выразить через высоты вершин.
Диагональные элементы лапласиана обратно пропорциональны высотам: 
Высота вершины — это расстояние до подпространства остальных вершин базиса.
Что это Чем больше высота вершин симплекса, тем менее компактен симплекс.
С точки зрения графа, чем больше проводимость (связность) вершин, тем компактнее граф.
Теги: #Матрица расстояний #Лапласиан #метрический тензор #граф #симплекс #математика
-
Re: Может Ли Пострадать Клетчатый Блокнот...
19 Oct, 24
