Введение Думаю, многие из читателей видели на популярных видеосервисах хотя бы одно видео, где электричество передается через пустое пространство с помощью индуктивных катушек.
В этой статье мы хотим рассмотреть основы процесса беспроводной передачи энергии с помощью магнитного поля.
Начав с рассмотрения простейшей индуктивной катушки и расчета ее индуктивности, мы постепенно перейдем к теории электрических цепей, в рамках которой будет показан и обоснован способ передачи максимальной мощности при прочих равных условиях.
.
Итак, начнем.
Магнитное поле одного витка с током
Рассмотрим магнитное поле одного витка с током.Найдем магнитное поле катушки в любой точке пространства.
Почему такое рассмотрение необходимо? Потому что практически во всех книгах, по крайней мере в тех, которые удалось найти автору статьи, решение этой задачи ограничивается нахождением только одной компоненты магнитного поля и только вдоль оси катушки – 
, а мы находим закон магнитного поля во всем пространстве.
Иллюстрация к закону Био-Савара-Лапласа
Для нахождения магнитного поля воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа (см.
Википедия - Закон Био-Савара-Лапласа ).
На рисунке видно, что центр системы координат 
совпадает с центром катушки.
Контур окружности катушки обозначается как 
, а радиус круга равен 
.
Ток течет через катушку 
.
— вектор переменного радиуса от начала координат до произвольной точки поворота.
– радиус-вектор точки наблюдения.
Нам также нужен полярный угол 
— угол между радиусом-вектором
и ось 
.
Обозначим расстояние от оси катушки до точки наблюдения как 
.
И наконец, 
— элементарное приращение радиуса-вектора
.
По закону Био-Савара-Лапласа элемент цепи с током
создает элементарный вклад в магнитное поле, который дается формулой 
Теперь давайте подробнее рассмотрим переменные и выражения, входящие в формулу.
Учитывая осевую симметрию задачи, можно написать 
Для того чтобы найти результирующее магнитное поле, нужно проинтегрировать по всему контуру катушки, т.е.
После подстановки всех выражений и некоторых одинаковых преобразований получим выражения для осевой и радиальной составляющих магнитного поля соответственно 
Чтобы найти абсолютную величину магнитного поля, необходимо просуммировать компоненты по теореме Пифагора.
.
Продемонстрируем полученное решение на примере радиусного поворота.
(м) и 
(А).
Амплитуда осевой составляющей магнитного поля 
Амплитуда радиальной составляющей магнитного поля 
Абсолютная амплитуда магнитного поля
Заметим, что для катушки произвольной формы на больших расстояниях 
, т. е.
много больше характерного размера катушки, поведение магнитного поля будет стремиться к найденному решению.
Зацепка.
Для таких расчетов и построения графиков удобно использовать MathCad 15.
Индуктор.
Катушки с магнитной связью
Теперь, когда мы знаем решение для магнитного поля одного витка, мы можем найти индуктивность катушки, состоящей из 
поворачивается.
По определению, индуктивность — это коэффициент пропорциональности между током в катушке и магнитным потоком через площадь поперечного сечения катушки.
Мы используем здесь идеальную модель катушки, которая безразмерна вдоль оси симметрии.
Конечно, на практике этого не происходит. Однако в качестве приближений полученные формулы будут весьма хороши.
Хотя катушки считаются безразмерными вдоль 
, необходимо указать ненулевой радиус сечения провода.
Давайте обозначим это 
, и пример равен 
(мм).
В противном случае при интегрировании магнитного потока подынтегральная функция будет стремиться к бесконечности.
Индуктивно связанные катушки
На рисунке показаны две магнитосвязанные катушки.
Пусть первая катушка имеет радиус 
и содержит 
крутится, а второй - 
И 
соответственно.
Затем, чтобы найти собственные индуктивности, необходимо вычислить магнитный поток каждой катушки через ее сечение.
Поскольку в катушке много витков, величину, называемую потокосцеплением, мы находим путем умножения дважды на количество витков.
По определению, индуктивность – это коэффициент пропорциональности.
в формуле 
.
Таким образом, мы получаем собственные индуктивности катушек 
Пусть центры витков разделены расстоянием 
, лежат на одной оси, а их плоскости витков ориентированы параллельно.
Чтобы найти взаимную индуктивность, нужно вычислить потокосцепление, образуемое одной катушкой, через сечение другой, то есть 
Тогда взаимная индуктивность катушек определяется выражением 
Насколько известно автору, такие интегралы можно брать только численно.
Обратите внимание, что, как правило 
И 
.
Коэффициентом связи катушек называется величина 
Изучим зависимость коэффициента связи катушек от расстояния.
Для этого рассмотрим две одинаковые катушки с радиусом витков 
(м) и количество витков 
.
В этом случае собственная индуктивность каждой катушки будет равна 
(мГн).
Коэффициент связи катушек в зависимости от расстояния между ними
График не изменится, если число витков в обеих катушках изменить одинаково или изменить радиус обеих катушек одинаково.
Коэффициент связи удобно выражать в процентах.
На графике видно, что даже при расстоянии между катушками в 1 (мм) коэффициент связи составляет менее 100%.
Коэффициент падает до 10% на расстоянии около 60 (мм) и до 1% на расстоянии 250 (мм).
Беспроводная передача энергии
Итак, мы знаем индуктивность и коэффициент связи.Теперь воспользуемся теорией электрических цепей переменного тока для поиска оптимальных параметров, при которых передаваемая мощность будет максимальной.
Чтобы понять этот абзац, читатель должен быть знаком с понятием электрического импеданса, а также с законами Кирхгофа и законом Ома.
Как известно из теории цепей, две индуктивно связанные катушки образуют воздушный трансформатор.
Т-образная схема замещения удобна для анализа трансформаторов.
Воздушный трансформатор и его эквивалентная схема
Передающую катушку слева условно назовем «передатчиком», а приемную катушку справа – «приемником».
Коэффициент связи между катушками 
.
На стороне приемника имеется потребитель в виде нагрузки.
.
В целом нагрузка может быть комплексной.
Входное напряжение на стороне передатчика 
, а входной ток 
.
Напряжение, передаваемое на приемник - 
, и передаваемый ток 
.
Обозначим полное сопротивление на стороне передатчика как 
, а полное сопротивление находится на стороне приемника 
.
Предполагается, что на вход схемы подается синусоидальное напряжение.
.
Обозначим 
- сопротивление и индуктивность катушек (двух собственных и одной взаимной) соответственно.
Тогда по теории трансформатора 
С другой стороны, согласно нашим обозначениям 
Где 
- суммарные активные сопротивления на стороне передатчика и приемника соответственно, и 
— полные реактивные сопротивления.
Сопротивление связи 
.
Найдем входной ток цепи 
где знак 
обозначает параллельное соединение сопротивлений.
Тогда напряжение, передаваемое на приемник 
И индуцированный ток 
Мы можем найти комплексную мощность, передаваемую приемнику.
Таким образом, мы получили выражение для комплексной степени 
Выражение для активной составляющей мощности 
Выражение для составляющей реактивной мощности 
В большинстве практических приложений необходимо передать максимальную активную мощность, поэтому 
Или, что то же самое 
Для удобства введем функцию 
и проверим его на наличие экстремумов 
Откуда мы получаем систему двух уравнений 
Эта система имеет пять решений, два из которых являются нефизическими, поскольку приводят к мнимым значениям величин, которые считаются действительными.
Ниже приведены три других физических решения вместе с соответствующими формулами для мощности.
Решение 1 
Власть 
Решение 2 и 3 
Мощность для решений 2 и 3 
Решение 2 и 3 следует использовать, когда реактивное сопротивление связи достаточно велико.
Когда это не так, нужно использовать решение 1. Чаще всего в реальных ситуациях 
оказывается небольшим, поэтому рассмотрим решение 1 немного подробнее.
Решение 1:
.
А соответствующая активная мощность определяется формулой 
Из формулы мощности видно, что мощность зависит от реактивного сопротивления связи.
, а значит, и от частоты передачи 
, и от геометрии взаимного расположения катушек, что учитывается коэффициентом связи
.
Как заметили внимательные читатели, зависимость 
- нелинейный.
Функция
достигает максимума при 
.
Исследование формулы силы
до крайностей
Максимальная активная мощность при
равно 
Таким образом, приведенная выше формула представляет собой абсолютный теоретический предел передаваемой активной мощности при любых условиях.
В этом случае для реактивной мощности, передаваемой в приемник, имеем 
Численное моделирование
Мы можем продемонстрировать, как работает вся вышеизложенная теория, запустив SPICE-моделирование нашего устройства, состоящего из двух соединенных катушек.
SPICE-модель двух индуктивно связанных катушек
Моделирование выполнено для коэффициента связи 
%, что соответствует расстоянию между витками 25 см.
Параметры катушки те же, что и в предыдущем пункте, принятом для построения графика.
.
Получается, что реактивное сопротивление каждой из катушек должно компенсироваться конденсаторами.
И 
.
То есть настроить каждый из контуров (передающий и приемный) в резонанс на заданной частоте.
Если предположить, что величина нагрузки реальная, то значения емкости можно найти по формулам 
Ниже приведены два графика передаваемого напряжения и передаваемой мощности в зависимости от времени на частоте.
(кГц).
Передаваемое напряжение
Теги: #Электроника для начинающих #физика #магнитное поле #мощность #беспроводная энергетика #индуктор #воздушный трансформатор
-
Вредоносное По, Читающее Мемы
19 Oct, 24 -
Радио-Э №51 - Мы Вернулись
19 Oct, 24
