Аксиоматический метод - это способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения выбираются в качестве исходных положений, из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения этой теории. Этот метод имеет давнюю историю и был сформулирован еще Аристотелем, который первым разделил все множество истинных высказываний на основные принципы и доказываемые утверждения.
Аксиоматический метод прошел через несколько этапов развития. На первом этапе аксиомы принимались на основе их очевидности. Примером такого построения теории являются "Начала" Евклида, где аксиомы геометрии принимались как очевидные истины, а остальные теоремы выводились из них.
На втором этапе Давид Гильберт внес формальный критерий применения аксиоматического метода, требуя, чтобы система аксиом была непротиворечивой, независимой и полной. Это означало, что аксиомы должны быть согласованными между собой, не должно быть противоречий, они должны быть независимыми друг от друга, и они должны быть достаточными для вывода всех истинных утверждений теории.
На третьем этапе аксиоматический метод стал еще более формализованным. Понятие аксиомы изменилось: теперь аксиома рассматривается как необходимый элемент теории, и ее подтверждение одновременно является подтверждением ее аксиоматических оснований. Кроме основных и вводимых утверждений, в аксиоматическом методе начали выделяться специальные правила вывода. Таким образом, помимо аксиом и теорем, формулируются также аксиомы и теоремы для правил вывода - метааксиомы и метатеоремы.
В 1931 году Курт Гедель доказал теорему о принципиальной неполноте любой формальной системы. ?та теорема показывает, что в формальной системе содержатся неразрешимые предложения, которые одновременно недоказуемы и неопровержимы. Это означает, что существуют утверждения, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты в рамках данной системы.
Аксиоматический метод рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной теории. Он соседствует с гипотетико-дедуктивным методом и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод предполагает построение иерархии гипотез, где более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы. Это позволяет ослабитьAxiomatic Method
The axiomatic method is a way of constructing a theory in which certain true statements are chosen as initial assumptions, from which the remaining true statements of the theory are logically derived and proven. This method has a long history and was first formulated by Aristotle, who divided the set of all true statements into basic principles and provable propositions.
The axiomatic method has gone through several stages of development. In the early stage, axioms were accepted based on their self-evidence. An example of such a theory is Euclid's "Elements," where the axioms of geometry were taken as self-evident truths, and the remaining theorems were derived from them.
In the second stage, David Hilbert introduced a formal criterion for the application of the axiomatic method, requiring the axiomatic system to be consistent, independent, and complete. This meant that the axioms had to be consistent with each other, there should be no contradictions, they should be independent of each other, and they should be sufficient to derive all true statements of the theory.
In the third stage, the axiomatic method became even more formalized. The concept of an axiom changed: now an axiom is considered an essential element of a theory, and its confirmation simultaneously serves as confirmation of its axiomatic foundations. In addition to basic and introduced statements, special rules of inference began to be distinguished in the axiomatic method. Thus, in addition to axioms and theorems, axioms and theorems for rules of inference were formulated—meta-axioms and meta-theorems.
In 1931, Kurt Gödel proved the theorem of the inherent incompleteness of any formal system. This theorem shows that a formal system contains undecidable propositions that are simultaneously undecidable and unprovable. This means that there are statements that cannot be proven or refuted within the framework of a given system.
The axiomatic method is considered one of the main methods of constructing a developed formalized theory. It coexists with the hypothetico-deductive method and the method of mathematical hypothesis. The hypothetico-deductive method involves constructing a hierarchy of hypotheses, where weaker hypotheses are derived from stronger ones within a unified deductive system. This allows for the relaxation of the requirement of self-evidence in the axiomatic method and opens up the possibility of generating new knowledge through hypothesis testing and deduction.
-
Освобождение От Боли В Отношения?
19 Oct, 24 -
Самопомощь При Заикании
19 Oct, 24 -
Мужество Противостоять Своим Неудачам
19 Oct, 24
